§ 3. Трещина при плоской деформации

Рассмотрим плоскую область произвольного очертания с трещиной внутри; нагрузка приложена и “в объеме”, и на внешней границе. Как и при антиплоской деформации, решение строится в два этапа: для нагруженной области без трещины и для бесконечной плоскости с разрезом при нагрузке на берегах (рис. 44). Решая первую задачу, на отрезке находим напряжения Для снятия их рассматривается вторая задача; ее можно также разделить на две: с нагрузками

Рис. 44

Обратимся к первой из этих задач — о растяжении силами . В общем случае плоской деформации вводятся два потенциала Мусхелишвили: (§ 4.14). Но применительно к данной задаче о трещине Вестергард нашел решение с одной функцией [36, 79]:

Из общих формул Колосова-Мусхелишвили (4.14.18) следует

Поскольку на отрезке задано приходим к следующей задаче: найти регулярную в плоскости с разрезом функцию реальная часть которой принимает на берегах заданные значения Предполагая соответствующее убывание на , получаем то же, что в § 2; там говорилось о мнимой части — рассмотрим Согласно

Используя (3.2), получим следующие важные асимптотические формулы

Здесь тот же характер сингулярности, что при антиплоской деформации

Задача о сдвиге при решается посредством следующей подстановки Вестергарда:

Тогда из (4.14.18) получим

Для функции получаем ту же задачу, что для решение имеем вид (3.3) (с заменой на ). Асимптотические формулы будут следующими: