§ 6. Метод многих масштабов
Этот метод привлекателен, естественен и — как написано у А. Найфэ [66] — его постоянно переоткрывают. Основой метода является представление искомой зависимости 
как сложной
где масштабы 
имеют разный порядок при 
Часто достаточно принять 
Оператор дифференцирования при простейшем выборе масштабов становится таким:
так что из обыкновенного дифференциального получается уравнение в частных производных. Однако — парадокс: задача не усложняется, а упрощается. Рассмотрим два примера.
Нелинейные колебания. Решение уравнения (3.1) ищем в виде
Но уравнение должно быть переписано с новым оператором дифференцирования
Подстановка (6.3) в (6.4) и баланс коэффициентов при одинаковых степенях X приводит к цепочке уравнений
Далее вспомним требование к асимтотическим разложениям: “последующие члены должны быть не более сингулярны, чем предыдущие”. Это значит, в частности, что в правой части уравнения для и] не должно быть первой гармоники 
Такие же уравнения были в методе Ван-дер-Поля. Но теперь осреднение делается не по нашему произволу или предположению, а по логике асимптотического анализа.
В построении решения видны характерные черты асимптотического расщепления: определяется лишь главный член асимптотики, но на первом шаге его вид устанавливается лишь частично. Окончательную ясность вносят условия разрешимости для поправочных членов.
Уравнение с малым параметром при старшей производной. Рассмотрим движение грузика малой массы, подвешенного на пружине в вязкой среде:
Простое асимптотическое разложение 
не проходит, поскольку дает на каждом шаге уравнение первого порядка 
двум начальным условиям не удовлетворить.
Вводя второй аргумент 
(“быстрое” время), реализуем метод следующим образом:
Подчеркнутое равенство следует из общего требования к асимптотическим разложениям — об ограниченной сингулярности последующих членов.
Выражение 
из (6.8) является хорошим приближением к точному решению уравнения (6.7) (легко находимому). Но осталось найти постоянные 
из начальных условий:
Если бы начальная скорость была большой 
вместо 
имели бы 
Рассмотренные две задачи ранее решались различными методами — осреднением по Крылову-Боголюбову и сращиванием. В методе многих масштабов возможности обоих объединены: идет слияние частных методов в более общие.
