§ 4. Принцип виртуальной работы и его следствия
Для отрезка стержня 
имеем следующую очевидную формулировку:
(стоит вспомнить запись (2.3.5) для твердого тела).
Преобразуя двойную подстановку в интеграл и учитывая произвольность 
и 
, получим локальное соотношение
Энергия деформации не чувствительная к перемещениям твердого тела
При этом 
и мы приходим к уравнениям баланса (3.1). Но тогда в (4.2) останется
Использованы соотношения для вариаций (2.8) и (2.9).
Поскольку 
и 
характеризуют деформацию, энергия (на единицу длины) должна зависеть 
них. Так и есть: из (4.3) следует
Получили соотношения упругости. Дальнейшая конкретизация их требует задания потенциала. Как и в предыдущих главах, отдадим предпочтение конструкционным материалам, работающим при малых деформациях. В этом случае можно разложить 
в ряд Тейлора и удержать лишь квадратичные члены:
Наличие линейных членов означает, что мы допускаем рассмотрение напряженной отсчетной конфигурации (это можно было принять и в предыдущих главах — в ущерб краткости изложения).
Соотношения упругости (4.4) в этом случае “физически-линейной” модели принимают вид
где векторы 
силы и моменты в отсчетной конфигурации; 
— тензоры жесткости.
Условно будем называть а жесткостью на изгиб и кручение, 
жескостью на растяжение и сдвиг, а с — тензором перекрестных связей. Тензоры жесткости поворачиваются вместе с частицей:
Здесь а известен, но а — нет.
Дифференцирование по времени тензоров жесткости подчиняется закону
Заканчивая комментарий к соотношениям упругости, вспомним задание триэдра 
в каждой частице. Разумный вариант — направить
по главным осям тензора а; ведь это симметричный и положительный тензор, его главные оси ортогональны (а главные значения положительны). Тензоры 
и 
также симметричны и положительны, но они присутствуют, как мы увидим, не во всех стержневых моделях. При указанном выборе 
вектор 
будет таким, что
если стержень состоит из одинаковых частиц.
Мы получили полную систему уравнений нелинейной теории стержней. Она состоит из уравнений баланса 
выражений векторов деформации (2.2) и соотношений упругости (4.6). К системе примыкают равенства (2.3), (2.4), (2.5) и (4.7).
По распространенной терминологии, рассмотрена модель типа Тимошенко. Но более справедливо связать ее с именами Коссера (хотя найти у Коссера [120] нечто подобное изложенному сможет лишь положительно предубежденный читатель).
