§ 2. Соотношения упругости

В этой книге упругой называем среду с потенциальными внутренними силами: где энергия деформации на единицу объема (по-прежнему рассматриваем геометрически-линейную постановку).

Располагая соотношениями (1.5) и (1.4), формулировку принципа виртуальной работы для произвольного объема можно преобразовать так:

Последние равенства — соотношения упругости. Их дальнейшая конкретизация требует задания в линейной теории это квадратичная форма. Запись (2.1) с тремя тензорами четвертого ранга едва ли полезна — ведь в общем случае анизотропии число констант равно 171 (столько коэффициентов у квадратичной формы 18 аргументов).

Преобразуем выражение из (2.1), разделяя в тензорах деформаций и напряжений симметричные и антисимметричные части

В изотропном материале энергия не должна зависеть от угловой ориентации пары у и Простейшим представляется следующий вариант без перекрестных связей с шестью константами:

( и т.д.). Эквивалентное выражение, но в другой записи — у В. Новацкого [68]. Комментируя (2.3), заметим, что это сумма четырех общих представлений изотропных функций одного аргумента (в роли которого выступают последовательно

Соотношения (2.1) и (2.2) можно обратить преобразованием Лежандра

Необходимо отметить, что коэффициенты жесткости имеют разную размерность. Отношение аили или размерности квадрата длины. Возникает масштаб длины А, и не только количественно, но и качественно решение зависит от соотношения между и характерным масштабом изменяемости внешних воздействий.

Если формально устремить к нулю, то исчезает вклад ним и моментные напряжения. При отсутствии моментной нагрузки тензор становится симметричным, и мы приходим к классической модели. Использование неклассической моментной модели естественно в тех случаях, когда в реальном материале есть некий минимальный объем, “внутрь которого запрещено заходить”. Но такая ситуация возникает нередко: поликристаллы, композиты с их представительным объемом, полимеры с большими молекулами.