§ 3. Метод Пуанкаре

Этот метод хорошо известен в теории нелинейных колебаний. Он предназначен, в частности, для определения периодических решений уравнения

Не приводит к успеху простейший вариант разложения

Здесь главный член синусоида, но поправочный член “резонирует”: при период правой части уравнения для совпадает с периодом свободных колебаний Нарушено основное требование к асимптотическим разложениям: “последующие члены должны быть не более сингулярны, чем предыдущие” (А. Найфэ [66]). Впрочем, непригодность (3.2) очевидна и по более простой причине: решение должно быть периодическим.

Предложенный А. Пуанкаре и А.М. Ляпуновым метод отличается от (3.2) лишь преобразованием времени:

Коэффициенты в выражении сначала произвольны. Но они определяют правую часть уравнения для их выбором можно добиться ограниченности (т. е. периодичности Два последних интегральных условия означают отсутствие первой гармоники и правой части уравнения для Важно отметить, что интегралы в (3.3) появились от строгой необходимости (условия разрешимости задачи о периодических решениях), а не из желания что-то осреднить.

Если содержит оба аргумента, из (3.3) определяется и амплитуда а, и поправка к частоте Это случай автоколебаний. Но когда

второе (последнее) уравнение удовлетворяется тождественно, а из первого находим связь между а и

Описанный метод нетрудно обобщить для любого числа степеней свободы, поскольку условия отсутствия резонанса могут быть выведены. Для контунуальных систем этот метод тоже работает.