§ 10. Граничные условия

В рамках рассматриваемого прямого подхода к оболочкам как материальным поверхностям наиболее надежным способом вывода граничных условий представляется вариационный. Исходим из вариационного уравнения

для всей оболочки с нагрузками на границе.

В модели типа Тимошенко (с независимыми поворотами) имеем

как в § 2. Учитывая уравнения баланса сил и моментов, из (10.1) получим

Поскольку и произвольны, подчеркнутые выражения должны быть равны нулю. Для сил пришли к очевидному, не требующему комментариев, условию.

Но условие для моментов может быть удовлетворено лишь при отсутствии в нормальной компоненты. Обосновывая это ограничение, можно рассуждать как в § 2 при пояснении (2.1) — внешняя нагрузка на контуре оболочки как трехмерного тела не создает нормального момента Граничная моментная нагрузка оказалась не столь произвольной, как внутри но иначе пришлось бы обратиться к модели Коссера (§ 7).

Интереснее и важнее для приложений постановка граничных условий в классической модели (§ 5). Соотношение между 0 и и должно быть учтено в вариационной процедуре (как в § 10.3). На контуре оболочки (рис. 27, § 2)

Рассмотрим работу момента

результат интегрирования по частям. Подчеркнутое слагаемое по форме совпадает с выражением работы силы.

Теперь обратимся к (10.1). Преобразование (10.2) сохраняется, хотя из аргументов исчезает

(добавлены слагаемые, равные нулю).

Интеграл по внутренней области выпадает благодаря уравнениям баланса сил и моментов, так что останется

Стоит напомнить, что определяются соотношениями упругости, а уравнением баланса моментов.

На свободном крае вариации произвольны, и потому векторные множители при них в (10.6) должны быть равны нулю. Для сил в компонентах имеем три уравнения, а для моментов — два (подчеркнутый вектор не имеет компоненты вдоль

В преобразовании (10.5) контур считался гладким. Случай с изломом контура — частный; при скачке дифференцируемых по функций возникают -образные слагаемые — как в теории пластин.

Вариационное уравнение (10.6) содержит в себе множество вариантов граничных условий. Если, например, край защемлен, то

(принято во внимание (10.4)). При этом (10.6) удовлетворяется тождественно.

Распространен вариант шарнирного опирания. В этом случае поворот свободен; учитывая очевидное из (10.4) получаем свободу варьирования и тогда (10.6) дает

(что достаточно очевидно).

Большая общность характерна для случая упругого закрепления, когда в вариационное уравнение добавляется энергия

с некими тензорами жесткости с. Нетрудно обобщить вышеописанную технику на этот случай.