§ 4. Роль дополнительных податливостей

Для прямого консольного стержня, сжатого постоянной силой на свободном конце, критическая нагрузка определяется формулой Эйлера

Это соответствует и уравнениям в вариациях (2.2) классической теории Кирхгофа.

Но рассмотрим теперь более общую модель типа Коссера, учитывающую растяжение и сдвиг. Уравнения в вариациях таковы:

Для стержня с силой на конце при простейшем варианте тензоров жесткости в § 8.6 было получено квадратное уравнение для критической нагрузки (8.6.13). Обычно — жесткость на растяжение больше, чем на сдвиг. Тогда и корни квадратного уравнения будут иметь разные знаки. Положительный корень

Как правило, так что получили малую поправку к решению Эйлера. Расчетная критическая сила уменьшилась при учете сжатия и сдвига.

В технической литературе встречается следующее выражение критической силы для модели со сдвигом

формула Энгессера [74]. В случае оно совпадает с (4.2).

Но уравнение (8.6.13) имеет при и отрицательный корень, что означает неустойчивость при растяжении. Соответствующая критическая сила

Неустойчивость при растяжении парадоксальна. Но Я.Г. Пановко показал на модельных задачах [72], что такое явление возможно. Однако мы должны иметь в виду, что формула (4.3) получена для модели с квадратичной аппроксимацией энергии деформации; если расчетная критическая сила слишком велика, то результат нереален.

Еще одно удивительное следствие уравнения (8.6.13) — невозможность потери устойчивости в случае

При малой жесткости на растяжение более выгодно простое сжатие, чем изгиб — такова интерпретация.

Обратимся теперь к более сложной задаче о кольце под действием внешнего давления (обобщение из § 2). Как и в классическом решении, рассматривается деформация лишь в плоскости. Сначала найдем состояние перед потерей устойчивости. Имеем круговое кольцо, но меньшего радиуса:

При этом предполагалось, что направления главные для а и b, что главные значения этих тензоров постоянны, и что

Далее рассмотрим уравнения в вариациях. Учтем, что

Из (4.1) получим

В качестве граничных выступают условия периодичности, поэтому решение будем искать в виде и т. д., где целое.

Для амплитуд получим линейную однородную систему, ее определитель должен быть равен нулю:

Выразив через согласно (4.3), придем к алгебраическому уравнению четвертой степени для Ограничимся случаем больших жесткостей на растяжение и сдвиг, для чего формально заменим и на где Критическое давление будем искать в виде Из (4.5) получим

Ищем минимальное с нетривиальным решением. При малом X имеем

Видим, что сжимаемость увеличивает расчетное критическое давление, а сдвиг уменьшает его.