§ 5. Линейная термоупругость

Квадратичная аппроксимация свободной энергии наиболее естественна в линейной теории, где перемещение и приращение температуры малые одного порядка. Формально можно положить где . Представляя неизвестные в виде рядов по степеням X, для главных (порядка ) членов разложений получим (как в § 4.1) систему уравнений линейной теории

Изменены обозначения: вместо написано с — теплоемкость на единицу объема (не , в линейной теории нет . В уравнении баланса импульса теперь нелогично включать даламберову силу инерции в поскольку “динамические” слагаемые выделены в уравнении баланса энергии (5.2).

В случае изотропной (и однородной) среды

В статике уравнение баланса энергии (5.2), (5.4) переходит в обычное уравнение теплопроводности (теплового баланса), задача определения температуры отделяется, ее решение используется далее при расчете них

Но в динамике имеем сложную задачу связанной термоупругости. Степень важности различных слагаемых в уравнениях (5.1) — (5.4) можно оценить, рассматривая синусоидальные плоские волны вдоль декартовой оси х

где волновое число; — частота; амплитуды.

В аналогичном (5.5) виде подставляются/и В. Из (5.1) и (5.3) следует

Подставив сюда и в (5.4) выражения (5.5), придем к линейной алгебраической системе

Анализ решения

показывает, что учет деформации в уравнении баланса энергии (слагаемые с явно необходим лишь при определении температуры при под воздействием сил. “Разрешающий оператор системы”, определяемый выражением содержит вклад с лишь как поправку, не выделяющуюся ни при больших ни при больших со. Воздействие в виде теплового удара, когда в малой области внезапно задается тепловыделение — это случай с и большими из (5.8) не следует, что в этом случае учет обратного влияния на необходим.

Обстоятельный анализ связанных задач термоупругости содержится в книгах В. Новацкого [67, 68].