§ 2. Уравнения пространственной задачи с малым параметром

Рассмотрим призматический стержень с односвязным сечением в виде тонкой криволинейной полоски постоянной толщины . Радиус-вектор в объеме представим следующим образом:

. Учитывая равенства (k — кривизна оси полоски), придем к выражению оператора Гамильтона

Как уже отмечалось, целесообразно начать с задачи в напряжениях. Тензор напряжений представим в виде

Уравнения из § 4.8 запишем в следующей промежуточной форме

Отметим также равенство (4.8.3)

и комбинацию (2.5) с последним из (2.4):

В системе уравнений (2.4) — (2.6) могут быть полезны разные уравнения: в плоской задаче — второе и седьмое, в антиплоской — первое и четвертое. Стоит рассматривать всю семерку уравнений, хотя некоторые ее элементы являются следствиями других.

Далее придется записать уравнения в компонентах — хотя при этом и будут утрачены преимущества прямого тензорного исчисления. Из системы (2.4)-(2.6) достаточно следующих девяти уравнений в компонентах

(см. скан)

Правые части считаются величинами порядка , поскольку решение будем искать в виде:

Но это — только так называемое внешнее разложение [4]. Вблизи концов полоски решение трехмерной задачи, оказывается, не может быть представлено как (2.8). Вместо (2.8) у концов придется строить так называемые внутренние разложения. Вблизи положим вместо начнем опять писать при этом На смену системе (2.7) придет следующая:

(см. скан)

Решение этих уравнений — так называемое внутреннее разложение

Коэффициенты здесь обозначены так же, как во внешнем разложении — но путаницы не будет. ихзаданы в разных областях и встретятся только в условиях сращивания.

Вблизи другого конца положим Тогда разумеется, далее опустим. Придем к системе, отличающейся от (2.9) лишь тем, что вместо будет

Боковую поверхность стержня будем считать свободной:

Общность при этом не снижается, поскольку объемные силы произвольны. Граничные условия на торцах , рассматривать не будем, ограничимся лишь выводом дифференциальных уравнений — этот вывод окажется весьма сложным.