§ 4. Уравнение теплопроводности
В курсах математической физики [101] рассматривается уравнение теплопроводности
где 
теплопроводность; В — тепловыделение в объеме; с — теплоемкость на единицу объема. Граничные условия
Здесь заданы температура и тепловой поток снаружи. Часто полагают поток 
пропорциональным разности температур окружающей среды и тела: тогда ставится условие третьего рода
при бесконечно большом коэффициенте теплообмена к приходим к условию первого рода 
а при к 
к условию теплоизоляции 
Но как связано (4.1) с фундаментальными законами баланса? Ведь нет особой “тепловой энергии”; есть внутренняя энергия, изменяющаяся согласно первому закону термодинамики (1.7).
Рассмотрим (1.7) для термоупругого тела, учитывая соотношения (3.5.3), (3.2) и (3.3):
Это уравнение совпадает с (4.1) в случае твердого тела 
коэффициент в скобках — это теплоемкость на единицу объема (разумеется, совпадение при 
Но подчеркнутое последнее слагаемое несовместимо с (4.1) — “правильное уравнение теплопроводности” должно учитывать влияние деформации.
При квадратичной аппроксимации свободной энергии имеем
В изотропной среде 
определяется, например, константами Ляме Яиц (§ 3.10), а тензор а — шаровой. В этом случае
где К — объемный модуль из (4.3.8).
Рассматривая обычное уравнение теплопроводности (4.1), обычно отмечают его неволновой характер и бесконечно большую скорость
распространения тепла. Уравнение волнового (гиперболического) типа получится при усложненном выражении вектора потока тепла:
Здесь 
— постоянная времени установления теплового потока; теперь 
не мгновенно реагирует на изменение 
, а с запаздыванием. Обычное уравнение теплопроводности
при соотношении (4.7) приводит к гиперболическому уравнению
скорость распространения тепла здесь равна 
Однако, это рассуждение необходимо откорректировать, поскольку (4.7) содержит ошибку. Представим себе статическое температурное поле в материальном объеме, вращающемся как твердое тело. В (4.7) первое слагаемое будет отлично от нуля, чего не должно бьггь в статике. Ясно, что для исправления ошибки следует заменить 
на производную Яуманна (§ 2.7)
И здесь опять возникает вопрос об истинном представлении вращения; наш ответ изложен в § 5.7. Исправив (4.7), мы лишаемся простого уравнения (4.8). Впрочем, для движущейся среды мы не имеем (4.8) и по другой причине: в уравнении баланса энергии (4.4) есть дополнительное (подчеркнутое) слагаемое.
