§ 5. Метод сращивания асимптотических разложений

Основоположником метода является Л. Прандтль. Рассматривая течение вязкой жидкости, он заметил, что влияние малой вязкости локализовано у границы — в тонком пограничном слое. Вдали от границы жидкость ведет себя как идеальная. Одни и те же уравнения Навье-Стокса по-разному упрощаются вдали от границы и около нее [42, 65, 66].

Метод сращивания состоит из трех процедур: построения внешнего разложения, построения внутренних разложений и сращивания внешнего разложения с внутренними. Метод предназначен для дифференциальных уравнений с малым параметром при старших производных.

Вдали от границы решение меняется плавно, формально малые члены можно отбросить, уравнение имеет пониженный порядок — все это характерно для внешнего разложения. У границы, наоборот, решение меняется быстро, старшие производные играют первостепенную роль, хотя имеют малые коэффициенты. Но внешнее и внутреннее разложения — это разные формы одного решения; они должны быть состыкованы процедурой сращивания. Рассмотрим пример.

Задача о прогибе натянутой струны с закрепленными концами под действием равномерно распределенной нагрузки может быть поставлена так;

Малый параметр X характеризует изгибную жесткость струны. Разыскивая решение уравнения в виде ряда по степеням X, будем иметь

Но как решение уравнения второго порядка не может удовлетворять четырем граничным условиям (как и ). Разложение (5.2) является внешним оно выходит на границу”.

Внутреннее разложение и представляет собой быстроменяющуюся функцию. У границы имеем

Для удовлетворения двум условиям при достаточно последнего выражения. Внутреннее разложение строится на полубесконечном промежутке (такова условность метода), и приняты равными нулю для ограниченности и при

Переписав условия при

получим Но второе условие изменилось бы в случае “большого поворота”: вместо . С определением построение внутреннего разложения закончено — в главном члене.

Третий этап методики — сращивание — должен дать граничные условия для внешнего разложения при Прандтль предложил следующее условие сращивания:

Используя (5.2) и (5.3), сразу получим Вторая константа в находится сращиванием с внутренним разложением вблизи

Но условие Прандтля (5.5) оказывается недостаточным в некоторых более сложных случаях (с ними встретимся в гл. 8 и 9). Тогда используется более сложное условие Ван Дайка [66]. Состоит оно в том, чтобы разложения совпали в каком-то числе первых членов (при учете соотношения между и Обычно ограничиваются двумя членами.

Вышеизложенное уязвимо для критики: условие (5.4) подсказывает, что следовало бы разлагать по целым степеням но тогда может потребоваться корректировка не ради последующего сращивания. Более строгое и подробное изложение метода читатель найдет в [42, 65, 66].