Глава 10. ПЛАСТИНЫ

§ 1. Общие представления

Пластиной называется тонкое трехмерное тело, ограниченное двумя параллельными плоскостями и боковой цилиндрической поверхностью (рис. 26). В декартовой системе поперечная координата а вектор принадлежит двумерной области О с границей На контуре 30 заданы дуговая координата и орты касательной и нормали (рис. 13 из § 4.12).

Оператор Гамильтона еада; так же представляются и все векторы: . В пластине из однородного изотропного материала общая задача классической упругости делится на две. Первая характеризует обобщенное плоское напряженное состояние, вторая — изгиб.

Рис. 26

В плоской задаче (первой) четными функциями z являются нагрузка и перемещение тогда как и нечетны. Соотношения линейной упругости подскажут, какова четность компонент тензоров . В задаче изгиба противоположная ситуация: четны по нечетны. Деление общей задачи на две обусловлено симметричностью промежутка и правомерностью суперпозиции. Любую функцию z можно представить суммой четной и нечетной:

Представив в таком виде все переменные линейной теории убедимся в справедливости деления задачи. Однородность и изотропия не обязательны: если плоскости материальной симметрии и упругие модули четны по деление сохранится.

В теории пластин рассматриваются двумерные задачи. Переход от трехмерной задачи наиболее достоверен на пути асимптотики. Но логическая стройность и эффективность присуща и вариационному подходу, основанному на аппроксимации по толщине решения

трехмерной вариационной задачи. Самое же простое корректное изложение теории пластин характерно для прямого подхода к ним как материальным плоскостям.

Плоская задача, как мы далее увидим, математически эквивалентна случаю плоской деформации из § 4.14. Поэтому сосредоточим внимание на задаче изгиба.