§ 3. Малые возмущения параметров
Рассмотрим задачу об определении собственных частот и форм с малыми возмущениями масс и жесткостей:
Разыскивая решение в виде 
получим последовательность задач
На первом из этих шагов находим частоты 
и формы 
невозмущенной системы. На втором шаге имеем неоднородную систему с вырожденной матрицей; она разрешима лишь в случае ортогональности правой части решениям сопряженной однородной системы. Но ввиду симметрии 
и сопряженная система совпадает с исходной, так что условие разрешимости будет следующим;
В континуальных системах вместо матриц имеем операторы в неких линейных функциональных пространствах. Нет необходимости строить квадратичные функционалы — достаточно теоремы взаимности.
Убедимся в этом для трехмерного тела с уравнением (1.2). Если тензор жесткости 
а плотность 
то при разложении 
будем иметь
Граничные условия таковы:
В (3.4) и (3.5) видим две статические задачи с объемными и поверхностными (на 
нагрузками (подчеркнуты). Теорема взаимности работ ведет к равенству
Все, что слева, есть и справа — сократится. Интеграл по 
можно распространить на всю поверхность О и затем применить теорему о дивергенции. Результатом (3.6) окажется
Аналогия (3.3) и (3.7) очевидна.
Метод возмущений позволяет определить и поправки к частотам колебаний стержней при переходе от модели Кирхгофа к модели типа Коссера. Запишем уравнения при малой толщине 
Полагая далее 
получим две системы
Имеем здесь такие постановки, на которые не распространяется теорема взаимности (8.10.5). Однако теорему можно обобщить. Если
и на концах 
то 
Системы (3.9) и 
частные случаи (3.11). Применяя обобщенную теорему (3.12), придем к формуле
Первая поправка к частоте оказалась обусловленной лишь тензором перекрестных связей С и эксцентриситетом 
Во многих случаях 
— нули. Тогда 
Влияние сдвига и инерции вращения на собственные частоты изучалось многими авторами, но не в такой общей постановке.
Очень эффективен метод возмущений для учета малого демпфирования. Этот учет необходим при расчете резонансных колебаний. Однако диссипативные силы изучены несравненно менее, чем упругие, фундаментального подхода к ним автор не знает.
