§ 4. Колебания оболочек

Динамика оболочек рассматривалась многими выдающимися исследователями, одним из первых был Рэлей с его теорией изгибных колебаний [9]. Для оболочек характерна высокая плотность собственных частот, на этом основаны специальные асимптотические методы расчета [12, 21]. Не затрагивая множества конкретных решений, ограничимся основными уравнениями и вытекающими из них общими положениями.

В теории классического типа из § 11.5 имеем уравнения (5.4), где вместо и можно написать

оставив без изменений. При нормальных колебаниях и для амплитуд получаются уравнения как в статике при нагрузке Применяя теорему Клапейрона (11.9.1), получим

где плотность потенциальной энергии в случае изотропии равна

Значения модулей оболочки из однородного изотропного материала даны в (11.5.5). Вытекающее из (4.2) выражение отношения Рэлея обладает известными общими свойствами: равное на форме оно как функционал имеет минимум на

Теорема взаимности работ (11.9.3) позволяет доказать ортогональность форм

Она же используется при построении решения произвольной динамической задачи:

Соотношения (4,2), (4.4) и (4.5) написаны для оболочки с защемленным краем — в этом случае не требуется вариационное преобразование краевых условий.

В неклассической теории типа Тимошенко исчезают сложности в условиях на свободном крае, зато возникают нагромождения в остальном. Но общие уравнения написать очень легко; они есть в гл. 11, только надо уточнить вид инерционных членов. В общем случае они содержат не только плотность но и тензор с вектором при изотропии в касательной плоскости