§ 3. Граничные задачи для представительного объема

Как определяются упругие модули для обычной среды? Не имея реальной возможности экспериментально найти связь в точке, мы рассматриваем конечные объемы в однородном напряженно-деформированном состоянии. В композитах роль точки играет представительный объем. Естественно рассмотреть такие внешние воздействия, при которых в однородной среде возникает однородное состояние. Можно выделить две замечательные задачи для представительного объема. В обеих рассматривается равновесие без объемных сил.

Первая задача. На поверхности О, ограничивающей представительный V - объем, заданы перемещения

где симметричный постоянный тензор.

Справедливы следующие два утверждения:

Равенство эффективной деформации и доказывается так:

Столь же легко устанавливается второе из равенств (3.2):

Это значит, что энергия композита и его однородной (гомогенной) модели совпадают.

Рассматриваемая задача дает возможность определить эффективную жесткость Задавая различные и приравнивая энергии, получим систему уравнений для компонент тензора жесткости.

Задача позволяет также локальную структуру поля, т. е. флюктуации. Определив на макроуровне можно использовать его в граничном условии (3.1).

Вторая задача. На границе -объема задаются поверхностные силы

с симметричным постоянным тензором

Покажем, что в этой задаче

Для первого равенства имеем

и совсем просто обосновывается второе

Эта задача также позволяет определить и эффективные модули, и локальную структуру поля. Результаты первой и второй задач должны совпадать, если представительный объем не слишком мал (т. е. соответствует своему названию).