§ 2. Модель оболочки

Располагая моделями трехмерного моментного континуума, стержней и пластин, не так уж сложно разобраться в механике оболочек. Как геометрический объект, оболочка определяется срединной поверхностью и толщиной в представлении

Из предыдущих глав читатель уяснил, что наилучшим способом построения теории оболочек автор считает асимптотическое расщепление трехмерной задачи. Логически строен, хотя и лишен фундаментальности вариационный метод, основанный на принципах Лагранжа или Рейсснера для трехмерного тела с аппроксимацией решения по толщине. Наибольшая же простота присуща прямому подходу к оболочкам как материальным поверхностям.

В оболочках важны моментные эффекты, связанные с изгибом и кручением. Следовательно, частицы поверхности должны обладать степенями свободы не только трансляции, но и поворота (поверхность типа Коссера). Ограничимся линейной теорией; движение определяется векторами перемещения и малого поворота Уравнения баланса, граничные условия и вариационное уравнение виртуальных работ в линейной теории записываются в отсчетной конфигурации — ненапряженном состоянии покоя.

Распределенные по поверхности нагрузки задаются векторами силой и моментом на единицу площади (в динамике к ним добавляются инерционные слагаемые). На контуре приложены внешние нагрузки сила и момент на единицу длины. В отношении же внутренних взаимодействий делаем важное предположение: на отрезке внутреннего контура длиной с нормалью действуют (со стороны v) сила и момент равные

где тензор сил тензор моментов и вектор перерезывающих сил лежат в касательной плоскости.

В (2.1) может удивить лишь отсутствие момента по нормали Но это характерно едва ли не для всех известных изложений теории оболочек [8, 20, 52, 70, 111]. Чтобы рассеять сомнения в этом важном вопросе, рассмотрим площадку внутри оболочки как трехмерного тела (рис. 27). На этой площадке действуют нормальное напряжение и касательные и Интегралы по толщине

Рис. 27

представляют собой силовые факторы в оболочке (не выписаны малые добавки, обусловленные кривизной). Моменту по нормали и в этой картине нет места.

Заметим, что следует различать внешние нагрузки на тело и те внутренние силовые факторы, которые возникают от деформации и обеспечивают равновесие.

Принцип виртуальной работы для произвольной конечной внутренней части оболочки

где энергия упругой деформации на единицу площади.

Применив теорему о дивергенции (1.19) и приняв во внимание произвольность области, получим локальное вариационное уравнение

Ниже мы выведем отсюда всю систему уравнений.