§ 8. Баланс импульса и момента импульса

Рассмотрим произвольный конечный материальный объем V среды, ограниченный поверхностью Очевидная формулировка закона баланса импульса имеет вид

Импульс слева продифференцируем по правилу (2.8), а поверхностный интеграл справа превратим в объемный по теореме о дивергенции. Получим

Но объем V произволен, поэтому подынтегральное выражение должно быть равно нулю. Приходим к уравнению баланса импульса в локальной форме

Наличие здесь оператора V, а не V, подталкивает к пространственному описанию, в котором Уравнение (8.2) не столь просто, как может показаться на первый взгляд. А ведь по сути (8.2) — это уравнение Ньютона для элементарного материального объема.

Переходим к закону баланса момента импульса. Интегральная формулировка такова:

Применяя теорему о дивергенции к поверхностному интегралу, Учтем тождество

Дифференцируя левую часть, сведем (8.3) к следующему:

Но объем V произволен, а выражение в квадратных скобках равно нулю. Следовательно,

тензор напряжений симметричен в рассматриваемой модели сплошной среды (ниже мы рассмотрим более сложные модели с несимметричным

Как любой симметричный тензор, имеет ортогональную тройку главных осей (с ортами ) и тройку вещественных главных значений называемых главными напряжениями. В представлении можно считать ста а тройку правой.

Рассмотрим известную теорему о кругах Мора [53]. Вектор напряжения на площадке с произвольной нормалью разложим на нормальную и касательную составляющие:

Имеем тройку равенств

где Это линейная алгебраическая система для Расписав ее решение через определители и учтя, что установим, что точка с координатами в соответствующей плоскости находится в заштрихованной области между тремя полуокружностями (рис. 9). Обнаруживаем, что — это максимальное минимальное, а максимум равен

Рис. 9

Для симметричного пока имеем лишь одно векторное уравнение (8.2). Даже в статике этого уравнения недостаточно для определения поскольку имеется бесконечно много решений однородного уравнения:

Имеется в виду симметричный тензор функций напряжений [53]. Оператор определяет так называемую “несовместность”.

Чтобы замкнуть систему уравнений МСС, вводят определяющие уравнения среды — уравнения состояния, связывающие с тензором деформации (и содержащие другие необходимые связи). Но для упругого тела такой длинный путь построения модели не обязателен, в чем читатель сейчас и убедится.