§ 15. Асимптотическое расщепление трехмерной задачи

В изложении механики стержней этот вопрос автор считает основным. Одномерные модели составляют лишь часть картины; другая часть — это двумерные задачи в сечении, а вместе они являются тем решением трехмерной задачи, которое образуется при малой толщине.

Малый параметр X в трехмерную задачу проще всего ввести через представление радиус-вектора (рис. 22, § 1):

Соответствующее выражение оператора Гамильтона

(вектор имеет тот же смысл, что в § 1; )

Представив тензор напряжений

из уравнения баланса сил получим

где оператор дифференцирования по Яуманну

Без ущерба для общности будем считать боковую поверхность свободной. Тогда граничные условия на ней

где нормаль к контуру сечения в его плоскости.

Процедура расщепления позволяет рассматривать неоднородный и анизотропный материал. Тогда вместо зависимостей Бельтрами придется обратиться непосредственно к уравнениям совместности деформаций

Записывая далее закон Гука, будем считать материал трансверсально изотропным с осью чтобы не лишаться преимуществ прямого тензорного исчисления. Соотношения (4.3.5) перепишем с техническими обозначениями констант:

Решение задачи (15.4)-(15.7) будем искать в виде Такие же степени будут и в разложении Заметим, что порядок главных членов мы определяем пробами: приводит к противоречиям, также. Подчеркнем важное обстоятельство: процедура расщепления применяется нами к задаче в напряжениях; при этом необходимы три шага, в то время как задача в перемещениях потребует, как мы увидим, пяти шагов.

Для главных членов получим

Подчеркнутое уравнение позволяет заключить, что

важный нетривиальный результат: несмотря на неоднородность и анизотропию, деформация в главном члене линейно распределена по сечению. Функции определятся позднее.

С помощью (15.7) выразим

В сочетании с (15.8) имеем плоскую задачу с начальной деформацией (как в § 6.7), роль которой играет слагаемое с Решение этой плоской задачи можно представить как

вызвано начальной деформацией а Обратимся к задаче (15.9). Можно положить

Пока но согласно (15.9)

так что Из (15.9) имеем также введена функция напряжений. Уравнение для нее следует из (15.13), поскольку Функция пропорциональна С, и в итоге получим

Осталось определить тогда расчет напряжений будет завершен, Эти величины связаны с продольной силой и моментами в сечении. Имеем

Для самих же сил и моментов есть уравнения баланса

Но где же второй шаг асимптотической процедуры? Анализ более простой плоской задачи о полосе показывает, что в напряжениях нужны три шага [30]. Мы прошли их, написав сразу (15.16), тогда как формально следовало бы получить это как условия разрешимости. Рассмотрим двумерные постановки

С помощью теоремы о дивергенции обосновываются условия разрешимости

и выводится соотношение

Далее перепишем (15.4) и (15.5):

Это двумерные постановки вида (15.17). Записав для них (15.18) и (15.19), придем к (15.16).

Поскольку то такого же порядка будут Из (15.16) следует тогда

что для непрямого стержня влечет за собой . Но в этом случае (15.15) позволяет исключить А:

после чего вектор В будет связан лишь с

Для главных членов из (15.16) получим

Обратим внимание на вид и исчезновение

Напряжения найдены, обратимся к перемещениям. Представив будем иметь

Правые части выражаются через формулами (15.7). Поскольку разложение и должно содержать Но начать придется раньше:

Для главных членов в (15.23) найдем

Первое и третье означает, что

Тогда второе равенство в (15.25) дает

Рассмотрим соотношения второго шага в (15.23)

Первое и последнее из этих уравнений ведут к следующему:

Эти формулы, во-первых, показывают, что главные члены асимптотики перемещений соответствуют гипотезе плоских сечений — подтверждается предположение теорий Кирхгофа и Коссера. Во-вторых, выведена первая формула Клебша: из (15.26) и (15.28) следует

Однако не использовано второе уравнение в (15.27), Из него вытекает

Первое определяет растяжение оси. Второе более важно: оно приближает нас к соотношениям упругости, поскольку В связано с

Осталось использовать информацию о связанной с Очевидно, понадобится компонента Для этого достаточно одного уравнения третьего шага в (15.23):

Отсюда имеем (см. (15.13))

Теперь можем написать соотношения упругости. Из (15.15), (15.21), (15.30) и (15.32) следует

Анализ закончен. Главные члены асимптотики образовали замкнутую систему, полностью согласующуюся с теорией Кирхгофа. Но, как уже отмечалось, имеем большее: сочетание двумерных задач с одномерной, представляющее решение трехмерной задачи при Последнее важно для стержней с неоднородностью и анизотропией, где не работают гипотезы прикладных теорий и все компоненты х становятся существенными.

Рассмотрена статика. Динамические задачи в общем случае несравненно более сложны. Но есть важный вариант, укладывающийся в “статические” рамки. Расщепление трехмерной динамической задачи обусловлено медленной изменяемостью решения не только по но и по времени Формально это означает, что рассматриваются функции вида при . В статике было можно заключить далее, что (чтобы динамические члены давали существенный, но не подавляющий все остальное вклад). Опуская выкладки, приведем простой окончательный результат: в (15.22) второе уравнение не меняется, а первое принимает вид

Одномерная плостность оказалась не просто массой на единицу длины — малые добавки исчезли,