9. Графический способ изображения чисел.

Переходя к графическому способу изображения функциональной зависимости, мы начнем со случая графического изображения одной переменной.

Всякое число может быть изображено некоторым отрезком. Для этого достаточно, условившись раз навсегда в выборе единицы длины, построить отрезок, длина которого равна как раз данному числу . Таким образом, всякая величина не только может быть выражена числом, но также и геометрически изображена отрезком.

Рис. 1.

Для того чтобы можно было таким путем изобразить и отрицательные числа, условимся откладывать отрезки на одной и той же прямой линии, приписав ей притом определенное направление (рис. 1). Условимся, далее, обозначать всякий отрезок знаком АВ, причем точку А будем называть началом, В — концом отрезка.

Если направление от А к В совпадает с направлением прямой, отрезок изображает число положительное; если же направление от А к В противоположно направлению прямой, то отрезок изобразит число отрицательное на рис. 1). Абсолютное же значение рассматриваемого числа выражается длиной изображающего его отрезка независимо от направления.

Длину отрезка АВ будем обозначать через если отрезок АВ изображает число то будем писать просто

Для большей определенности можно раз навсегда условиться помещать начало всех отрезков в заранее выбранную точку О прямой. Тогда всякий отрезок ОА, а потому и изображаемое им число будет вполне определяться точкой А, концом отрезка (рис. 2).

Рис. 2.

Обратно, задав число можем и по величине и по направлению определить отрезок ОА, а потому и конец его А. Точке О (начало) соответствует

Итак, если провести направленную прямую (ось) и отметить на ней неподвижную точку О (начало), то каждому вещественному числу будет соответствовать определенная точка А этой прямой, такая, что отрезок ОА измеряется числом Обратно, всякой точке А оси соответствует вполне определенное вещественное число измеряющее отрезок ОА. Это число называется абсциссой точки А; если нужно указать, что точка А имеет абсциссу то пишут

Если число меняется, то изображающая его точка А передвигается по оси. Установленное выше понятие о промежутке при таком графическом изобраэюении числа становится совершенно наглядным, а именно: если меняется в промежутке , то соответствующая точка на оси будет находиться в отрезке, концы которого имеют абсциссы а и b.

Если бы мы ограничились одними рациональными числами, то точке А не соответствовало бы никакой абсциссы, если отрезок ОА несоизмерим с принятой единицей, т. е., иначе говоря, одни рациональные числа не заполняют всех точек прямой. Это заполнение достигается введением иррациональных чисел. Основным положением при графическом изображении одной переменной величины является указанное выше положение: всякой точке оси ХХ соответствует определенное вещественное число и, наоборот, всякому вещественному числу соответствует определенная точка оси ХХ.

Возьмем на оси ХГХ две точки: точку с абсциссою и точку с абсциссою При этом отрезку будет соответствовать число а отрезку число Нетрудно показать, рассматривая всевозможные взаимные расположения точек что отрезку A будет соответствовать число так что длина этого отрезка будет равна абсолютному значению разности

Если, например, , то точка лежит слева от О на расстоянии, равном 3, а точка лежит справа от О на расстоянии, равном 7. Отрезок будет иметь длину 10 и будет направлен так же, как ось , т. е. ему будет соответствовать число

Предоставляем читателю разобрать другие возможности расположения точек