127. Различные виды формулы Тейлора.

При мы получаем из (7,) выведенную раньше [63] формулу конечных приращений Лагранжа;

формула Тейлора является, таким образом, непосредственным обобщением формулы конечных приращений.

Переходя к прежним обозначениям и написав вместо а и вместо перепишем формулу Тейлора (7) в виде

так как при новых обозначениях надо заменить на h. Значение Е, лежащее при прежних обозначениях между а их, будет лежать между и его можно обозначить через где . В силу (9) остаточный член формулы (10) можно, таким образом, написать в виде:

Левая часть формулы (10) есть приращение функции соответствующее приращению или, что то же, дифференциалу независимой переменной. Вспомнив выражения для дифференциалов высших порядков [55], мы имеем

откуда

причем символ обозначает результат подстановки в выражение вместо суммы

В этом виде формула Тейлора особенно интересна тогда, когда приращение h независимой переменной есть величина бесконечно малая. Формула (12) дает тогда возможность выделить из приращения функции бесконечно малые слагаемые различных порядков относительно

В частном случае, когда исходное значение а независимой переменной есть нуль, формула Тейлора (7) принимает вид

где

и , лежащее между 0 и можно обозначить где в, зависящее от удовлетворяет неравенству Формула (13) называется формулой Маклорена.