66. Различные виды неопределенностей.

Доказанное в [65] правило применимо и к случаю неопределенностей вида В дальнейшем мы не будем отличать стремление к а слева или справа и будем писать для краткости Предположим, что при этом непрерывные функции стремятся к или Для определенности пусть

и

Покажем, что отношение у стремится к тому же пределу причем предполагается, что не обращается в нуль при значениях х, близких к а.

Рассмотрим два значения независимой переменной близкие к а и такие, что заключаются между и а. По формуле Коши будем иметь

но, с другой стороны,

Отметим, что из (8) непосредственно следует, что отличны от нуля при значениях близких к а. Сравнивая эти два выражения, получим

или

где заключается между и, следовательно, между а и . Возьмем достаточно близким к а; тогда, в силу условия (9), мы можем считать, что первый множитель в правой части равенства (10) будет сколь угодно мало отличаться от b при любом выборе между Закрепив, таким образом, значение будем приближать к а.

Тогда в силу условия (8) второй множитель в правой части равенства (10) будет стремиться к единице, а потому мы можем утверждать, что отношение стоящее в левой части равенства (10), при значениях близких к а, будет сколь угодно мало отличаться от b, т. е.

Из доказанной теоремы следует, что правило Лопиталя применимо и для раскрытия неопределенностей вида

Отметим еще некоторые виды неопределенностей. Рассмотрим произведение и пусть

и

Это будет неопределенность вида Нетрудно привести ее

Рассмотрим, наконец, выражение и пусть

Это будет случай неопределенности вида . Рассмотрим логарифм данного выражения

который приводится к неопределенности вида Раскрывая эту неопределенность, т. е. находя предел логарифма данного выражения, мы тем самым будем знать и предел самого выражения. Совершенно так же раскрываются неопределенности вида и 0°.

Рассмотрим теперь примеры.

Совершенно так же можно убедиться в том, что отношение — при любом положительном значении стремится к бесконечности, когда т. е. показательная функция возрастает быстрее любой положительной степени при беспредельном возрастании

т. е. возрастает медленнее любой положительной степени

4. Найдем предел при стремлении . Логарифмируя это выражение, получим неопределенность вида . Эта неопределенность в силу примера 3 даст в пределе нуль, а следовательно

5. Найдем предел отношения

Числитель и знаменатель написанного отношения стремятся к бесконечности. Заменяя по правилу Лоииталя отношение функций отношением производных, иолучим

Но при беспредельном возрастании ни к какому пределу не стремится, ибо будет все время колебаться между однако нетрудно видеть, что само данное отношение стремится к пределу

Итак, в этом случае неопределенность раскрывается, но правило Лопиталя ничего не дает. Этот результат не противоречит доказанной теореме; ибо в теореме утверждалось лишь то, что если отношение производных стремится к пределу, то к тому же пределу стремится и отношение функций, но не наоборот.

6. Отметим еще неопределенность вида Она приводится обычно к неопределенности вида Например,

Последнее выражение представляет собою неопределенность вида . Раскрывая ее указанным выше способом, получим