123. Знакопеременные ряды.
Переходя к рядам с какими угодно членами, мы рассмотрим прежде всего ряды знакопеременные, у которых члены попеременно положительны и отрицательны. Такие ряды удобнее писать не так, как раньше, а в виде
причем числа
считаются положительными 
Относительно знакопеременных рядов можно доказать следующее предложение:
Для того чтобы знакопеременный ряд сходился, достаточно, чтобы абсолютные значения его членов убывали и стремились к нулю при возрастании 
. Остаток такого ряда по абсолютному значению не превосходит абсолютного значения первого из отброшенных членов.
Рассмотрим сперва суммы четного числа членов ряда
Так как по условию абсолютные значения членов ряда убывают (лучше сказать, не возрастают) при возрастании 
, то, вообще,
а потому
т. е. переменная 
не убывающая. С другой стороны, мы имеем
так как все разности в скобках неотрицательны, т. е. переменная 
остается ограниченной при всех значениях n. Отсюда следует, что при беспредельном возрастании 
, 
стремится к конечному пределу [30], который мы обозначим через 
Далее, мы имеем
так как по условию 
Мы видим, таким образом, что как сумма четного, так и сумма нечетного числа членов ряда (34) стремится к одному и тому же пределу s, т. е. ряд (34) сходящийся и имеет сумму s.
Остается еще оценить остаток 
ряда. Мы имеем
причем одновременно надо брать верхние или нижние знаки. Иначе
откуда, рассуждая как и раньше, имеем
что и требовалось доказать.
Из формулы
в квадратных скобках которой стоят неотрицательные количества, следует, что знак 
совпадает с тем знаком, который надо брать перед квадратной скобкой, т. е. совпадает со знаком 
Итак, при указанных в теореме условиях знак остатка знакопеременного ряда совпадает со знаком первого из отброшенных членов.
Пример. Ряд
есть знакопеременный ряд, абсолютные значения членов которого беспредельно убывают при 
а потому он будет сходящимся. Мы увидим в дальнейшем, что его сумма равна 
. Однако для действительного вычисления 
этот ряд не годится, так как для того чтобы остаток его был меньше 0,0001, нужно взять 10 000 его членов:
Итак, ряд этот хотя и сходится, но сходится очень медленно; для того чтобы иметь с такими рядами дело на практике, нужно предварительно преобразовать их из медленно сходящихся в быстро сходящиеся, или, как говорят, улучшить сходимость.
