76. Особые точки кривых.

Рассмотрим уравнение кривой в неявной форме

Угловой коэффициент касательной к такой кривой определяется по

где — координаты точки касания.

Рассмотрим тот частный случай, когда есть целый многочлен от х и у. В этом случае кривая (24) называется алгебраической. Частные производные будут иметь вполне определенные значения, если вместо х и у подставить координаты любой точки М кривой (24), и уравнение (25) даст нам определенный угловой коэффициент касательной, во всех случаях, кроме тех, когда координаты точки обращают в нуль частные производные Такая точка М называется особой точкой кривой (24).

Особой точкой алгебраической кривой (24) называется точка, координаты которой удовлетворяют уравнению (24) и уравнениям

Для эллипса

условие (26) даст нам , но точка лежит на эллипсе, а потому эллипс особых точек не имеет. То же можно утверждать и относительно гиперболы и параболы.

В случае листа Декарта

условия (26) будут иметь вид:

и непосредственно видно, что начало координат (0,0) является особой точкой кривой. При исследовании листа Декарта мы показали, что в начале координат кривая пересекает сама себя, и две ветви кривой, пересекающиеся в этой точке, имеют в ней различные касательные: для одной из ветвей касательной является ось ОХ, для другой — ось OY.

Особая точка, в которой пересекаются различные ветви кривой так, что каждая ветвь имеет свою особую касательную, называется узловой точкой кривой.

Таким образом, начало координат является узловой точкой листа Декарта.

Укажем еще на примерах некоторые типы особых точек алгебраических кривых.

1. Рассмотрим кривую

называемую полукубической параболой. Нетрудно проверить, что координаты (0,0) обращают в нуль левую часть этого уравнения и ее частные производные по и у, и, следовательно, начало координат является особой точкой кривой. Для исследования вида кривой вблизи этой особой точки построим эту кривую. Ее уравнение в явной форме будет

Для построения кривой достаточно исследовать ту ее часть, которая соответствует знаку ибо часть кривой, соответствующая знаку будет симметрична с первой частью относительно оси ОХ. Из уравнения видно, что не может быть меньше нуля и что при возрастании от 0 до и у возрастает от 0 до .

Определим производные первых двух порядков:

При и заметив, что может стремиться к нулю, принимая лишь положительные значения, можем утверждать, что ось ОХ будет касательной к кривой справа в начале координат. Кроме того видно, что для исследуемой части кривой сохраняет неизменный знак в промежуток т. е. эта часть обращена вогнутостью в сторону положительных ординат.

На рис. 87 изображена исследуемая кривая (при ). В начале координат встречаются, не продолжаясь дальше, две ветви кривой, причем обе ветви в точке встреча имеют одну а ту же касательную и расположены по разные стороны от этой касательной вблизи особой точки (в данном случае — везде).

Рис. 87.

Рис. 88.

Такая особая точка называется точкой возврата первого рода.

2. Рассмотрим кривую

Нетрудно проверить, что начало координат является особой точкой кривой. Уравнение кривой в явной форме будет

Из этого уравнения видно, что может изменяться от 0 до Определим производные двух первых порядков:

и исследуем отдельно обе ветви кривой, соответствующие знакам и (—).

Заметим, прежде всего, что в обоих случаях, при и так же, как в предыдущем примере, ось ОХ будет для обеих ветвей касательной справа.

Исследуя обе ветви обычным способом, получим следующие результаты: для первой ветви при возрастании от 0 до и Y возрастает от 0 до и кривая вогнута; на второй ветви имеется вершина (максимум) при точка перегиба при и точка пересечения с осью ОХ при

Принимая во внимание все указанное, получим кривую, изображенную на рис. 88.

В начале координат встречаются, не продолжаясь дальше, две ветви кривой, причем обе ветви в точке встречи имеют одну и ту же касательную и расположены по одну сторону от этой касательной вблизи особой точки. Такая особая точка называется точкой возврата второго рода.

3. Исследуем кривую

Начало координат есть особая точка кривой. Уравнение кривой в явной форме будет

Уравнение кривой в неявной форме содержит только четные степени и Y, а потому оси координат суть оси симметрии кривой, и достаточно исследовать часть кривой, соответствующую положительным значениям х и у. Из уравнения кривой в явной форме видно, что х может изменяться от (-1) до 1. Ограничимся вычислением первой производной

При , т. е. в начале координат, касательная совпадает с осью ОХ, а при , т. е. в точке (1,0), касательная параллельна оси OY. По обычным правилам найдем, что кривая будет иметь вершину при Принимая во внимание все сказанное и, в частности, симметричность кривой, получим кривую, изображенную на рис. 89.

Рис. 89.

В начале координат две ветви кривой, соответствующие знакам перед корнем, взаимно касаются. Такая особая точка называется точкой соприкосновения.

4. Исследуем кривую

Начало координат есть особая точка кривой. Явное уравнение кривой будет

Принимая во внимание, что подкоренное выражение не может быть отрицательным, можем утверждать, что либо либо . При . Исследуем теперь ветвь кривой, соответствующую знаку При увеличении от 1 до у увеличивается от 0 до . Из выражения первой производной

видно, что, при обращается в бесконечность, т. е. в точке (1, 0) касательная параллельна оси OY. Вторая ветвь кривой, соответствующая знаку (—), будет симметрична с исследованной относительно оси ОХ.

Принимая все это во внимание, получим кривую, изображенную на рис. 90. В рассматриваемом случае координаты точки удовлетворяют уравнению кривой, но вблизи нее нет других точек кривой. В этом случае особая точка называется изолированной точкой.

Указанными выше типами особых точек исчерпываются всевозможные случаи особых точек алгебраических кривых, но может случиться, что в некоторой точке алгебраической кривой произойдет совпадение нескольких особых точек, одинаковых или разных типов.

Рис. 90.

Рис. 91.

Кривые не алгебраические называются трансцендентными.

Предлагаем читателю показать, что уравнению

соответствует кривая, изображенная на рис. 91. Начало координат является точкой прекращения кривой.