64. Формула Коши.

Положим, что функции непрерывны в промежутке каждой точке внутри этого промежутка имеют производную, причем производная ни в одной из точек внутри промежутка не обращается в нуль. Применяя к функции формулу Лагранжа, получим

но по условию и, следовательно,

Составим функцию

где — постоянная, которую мы определим так, чтобы было

то есть

откуда

При таком выборе к функции приложима теорема Ролля, и, следовательно, будет существовать такое значение при котором

Это уравнение дает

откуда, подставляя найденное для значение, получим

или

или

Это и есть формула Коши. Полагая в этой формуле будем иметь и формула примет вид:

т. е. мы получили формулу Лагранжа как частный случай формулы Коши.