80. Эпициклоиды и гипоциклоиды.

Если круг, с окружностью которого связана точка М, катится не по прямой ОХ, а по некоторой неподвижной окружности, то получатся два обширных класса кривых: эпициклоиды, если катящийся круг расположен вне неподвижного; гипоциклоиды, если катящийся круг расположен внутри неподвижного.

Рис. 97.

Выведем уравнение эпициклоид. Поместим начало координат в центр неподвижного круга; ось ОХ направим по прямой, соединяющей этот центр О с точкой К, которая является начальным положением точки М, когда обе окружности касались друг друга в этой точке. Обозначим буквою а радиус катящейся окружности, через b — радиус неподвижной окружности и примем за параметр t угол, образуемый с осью ОХ радиусом ON неподвижной окружности, проведенным в точку касания окружностей, когда подвижная окружность повернулась на угол . Ввиду того, что качение окружности происходит без скольжения, можем написать

т. е.

Из чертежа непосредственно находим

Кривая состоит из ряда одинаковых дуг, каждая из которых соответствует полному обороту подвижного круга, т. е. увеличению угла на угла на хаким образом, концы этих дуг соответствуют значениям

Для того чтобы когда-нибудь мы пришли в начальную точку кривой К, необходимо и достаточно, чтобы один из этих концов совпал с т. е. чтобы существовали целые числа и q, удовлетворяющие условию

ибо точке К соответствует некоторое число полных оборотов около точки О. Предыдущее условие может быть написано так:

Такие числа будут существовать тогда и только тогда, когда а и b — отрезки, соизмеримые между собою; в противном же случае отношение есть число иррациональное и не может сделаться равным отношению двух целых чисел.

Рис. 98.

Отсюда следует, что эпициклоида представляет замкнутую кривую тогда и только тогда, когда радиусы подвижного и неподвижного кругов соизмеримы; в противном же случае кривая эта незамкнутая и, выйдя из точки в нее никогда больше не возвратится.

Это замечание относится и к гипоциклоидам (рис. 98), уравнение которых может быть получено из уравнения эпициклоид простою заменой а на

Отметим некоторые частные случаи. Положим, что в случае эпициклоиды т. е. радиусы неподвижного и подвижного кругов равны. Мы получим в этом случае кривую, состоящую из одной ветви (рис. 99), и, подставив в уравнения получим уравнения этой кривой:

Кривая эта называется кардиоидой.

Определим расстояние точек этой кривой до точки , имеющей координаты и для этого приведем к более удобному виду выражения для (х - а) и у:

откуда

Разность и у суть проекции отрезка КМ на оси ОХ и ОY, но из написанных выше выражений видно, что и у равны произведению длины отрезка КМ соответственно на и мы можем поэтому утверждать, что отрезок КМ образует угол t с положительным направлением оси т. е. параллелен радиусу ON. Результат этот будет для нас важен в дальнейшем при выводе правила построения касательной к кардиоиде.

Рис. 99.

Рис. 100.

Введем угол образованный отрезком с отрицательным направлением оси ОХ. Для мы получим тогда

Уравнение это является уравнением кардиоиды в полярных координатах, и мы более подробно исследуем эту кривую, когда будем говорить о полярных координатах.

Отметим теперь некоторые частные случаи гипоциклоид. Полагая в уравнениях получим

т. e. если радиус неподвижного круга вдвое больше радиуса подвижного круга, то точка М двигается по диаметру неподвижного круга.

Положим теперь, что . В этом случае гипоциклоида будет состоять из четырех ветвей (рис. 100), и в этом частном случае она называется астроидой! Уравнения (38) при дадут нам

Возведя обе части уравнений в степень 2/3 и складывая почленно полученные уравнения, исключим параметр t и получим уравнение астроиды в неявной форме