24. Обратные тригонометрические, или круговые, функции.

Эти функции получаются при обращении тригонометрических функций:

и обозначаются, соответственно, символами

что представляет собою не что иное, как сокращенное обозначение названий: угол (или дуга), синус, косинус, тангенс или котангенс которого соответственно равен х.

Остановимся на функции

График этой функции (рис. 39) получается из графика функции по правилу, указанному в [20]. Весь этот график расположен в вертикальной полосе ширины два, опирающейся на отрезок — оси ОХ, т. е. функция (22) определена лишь в промежутке Далее, уравнение (22) равносильно уравнению и, как известно из тригонометрии, при заданном мы получаем бесчисленное множество значений для угла у. Из графика мы видим, действительно, что прямые, перпендикулярные к оси ОХ в точках промежутка имеют с графиком бесчисленное множество общих точек, т. е. функция (22) есть многозначная функция.

Непосредственно из рис. 39 мы видим, что функция (22) станет однозначной, если мы вместо всего графика ограничимся лишь его частью, начерченной более жирно сплошной линией, что соответствует условию — рассматривать только те значения угла у, имеющего данный sin у = х, которые лежат в промежутке

На рис. 40 и 41 указаны графики функций и отмечены жирно сплошной линией те части графика, которые надо оставить, чтобы сделать функцию однозначной (чертеж для предоставляется сделать читателям).

Рис. 39.

Рис. 40.

Рис. 41.

Заметим при этом, что функции определены при всех вещественных значениях

Отмечая из чертежа интервал изменения у на отмеченной жирно части кривой, мы получаем таблицу ограничений, при которых функции становятся однозначными:

Нетрудно показать, что определенные таким образом функции, которые называются главными значениями круговых функций, удовлетворяют соотношениям