11. График и уравнение кривой.

Возвратимся к величинам которые изображает точка М. Пусть и у связаны функциональной зависимостью; это значит, что, меняя по произволу х (или у), мы будем получать каждый раз соответствующее значение у (или ). Каждой такой паре значений х и у соответствует определенное положение точки М на плоскости XOY; если же значения эти будут меняться, то точка М будет передвигаться по плоскости и при движении своем опишет некоторую линию (рис. 4), которая называется графическим изображением (или, проще, графиком или диаграммой) рассматриваемой функциональной зависимости.

Если зависимость задана аналитически в виде уравнения в явной форме

или в неявной форме

то уравнение это называется уравнением кривой, а кривая — графиком уравнения или графиком функции. Кривая и ее уравнение суть лишь различные способы выражения одной и той же функциональной зависимости, т. е. все точки, координаты которых удовлетворяют уравнению кривой, лежат на этой кривой и, обратно, координаты всех точек, лежащих на кривой, удовлетворяют ее уравнению.

Если дано уравнение кривой, можно, пользуясь листом графленой бумаги, построить, более или менее точно, самую кривую (вернее, можно построить какое угодно число точек, лежащих на этой кривой); чем больше таких точек построим, тем яснее будет для нас форма кривой; такой способ называется построением кривой по точкам.

Выбор масштаба имеет существенное значение при построении кривых; при этом можно выбирать разные масштабы при построении х и у. При одинаковых масштабах для х и у плоскость уподобляется листу бумаги, разграфленному на квадраты, при разных же масштабах — на прямоугольники. В дальнейшем будет подразу меваться, что масштабы для х и у одинаковы.

Рис. 4.

Читателям рекомендуется здесь же построить по точкам несколько графиков простейших функций, меняя притом масштабы для х и у.

Введенные выше понятия о координатах точки М, об уравнении кривой и графике уравнения устанавливают тесную связь между алгеброй и геометрией. С одной стороны, мы получаем возможность наглядным геометрическим путем изображать и исследовать аналитические зависимости, с другой стороны, оказывается возможным сводить решение геометрических вопросов к чисто алгебраическим действиям, в чем и заключается основная задача аналитической геометрии, разработанной впервые Декартом.

Ввиду чрезвычайной важности формулируем еще раз факты, лежащие в основе аналитической геометрии. Если на плоскости отметить две координатные оси, то всякой точке плоскости будет соответствовать пара вещественных чисел — абсцисса и ордината этой точки, и, наоборот, всякой паре чисел будет соответствовать определенная точка плоскости, имеющая первое число своей абсциссой и второе число своей ординатой. Кривой на плоскости соответствует функциональная зависимость между х и у, или, что то же, уравнение, содержащее переменные х и у, которое удовлетворяется в том и лишь в том случае, если вместо х и у подставить координаты какой-либо из точек кривой. Наоборот, уравнению, содержащему две переменные х и у, соответствует кривая, состоящая из тех точек плоскости, координаты которых, будучи подставлены вместо и у в уравнение, удовлетворяют ему.

В дальнейшем мы рассмотрим основные примеры графиков функций, а теперь приведем некоторые общие соображения. Пусть мы имеем уравнение в явной форме: , где однозначная функция, определенная, например, в промежутке , т. е. такая функция, что любому из соответствует одно определенное значение график указанной функциональной зависимости состоит из точек полученных указанным только что способом. Перпендикуляр к оси ОХ, проведенный через любую точку этой оси, абсцисса которой принадлежит встретит график в одной точке (однозначность f{х)). В случае уравнения в неявной форме дело обстоит сложнее. Может случиться, что уравнению не соответствует ни одной точки. Это имеет место, например, для уравнения ибо при любых вещественных и у левая часть положительна. Уравнению соответствует, очевидно, только одна точка (3, 5).

Построение графика совершается автоматически в самопишущих приборах; переменной является обычно время; у — величина, изменение которой с течением времени нас интересует, например барометрическое давление (барограф), температура (термограф). Важное значение имеет индикатор, который записывает зависимость между объемом и давлением газа, заключенного в цилиндре парового или газового двигателя.