56. Разности функций.

Обозначим буквою h приращение независимой переменной. Соответственное приращение функции будет

Его называют иначе разноетъю первого порядка функции . Эта разность есть, в свою очередь, функция от и мы можем найти разность этой функции, вычисляя значение этой функции при и вычитая из первого результата второй.

Эта разность называется разностью второго порядка первоначальной функции и обозначается символом Нетрудно выразить через значения самой функции

Эта разность второго порядка также есть функция от и, определяя разность этой функции, получим разность третьего порядка первоначальной функции Заменяя в правой части равенства на и вычитая из полученного результата правую часть равенства (5), будем иметь выражение для

Таким образом, можно последовательно определить разность любого порядка, и разность порядка будет иметь следующее выражение через значения функции

Выше мы убедились в справедливости этой формулы при . Для ее полного доказательства надо применить обычный способ доказательства от к Заметим, что для вычисления надо знать значения функции при значениях аргумента: Эти значения аргумента образуют арифметическую прогрессию с разностью , или, как говорят, являются равноотстоящими значениями.

При малых значениях разность мало отличается от дифференциала Точно так же разности высших порядков будут давать приближенные значения дифференциалов соответствующих порядков, и наоборот. Если, например, функция задана таблично при равноотстоящих значениях аргумента, то мы, не имея аналитического выражения функции, не в состоянии точно вычислить значения ее производных различных порядков, но вместо точной формулы (3) можем получить приближенное значение производных, вычисляя отношение

Составим для примера таблицу разностей и дифференциалов функции в промежутке (2, 3), принимая:

Для составления этой таблицы были вычислены последовательные значения функции из них при помощи вычитания, согласно формуле (4), были получены значения из них также при помощи вычитания получились значения и т. д. Такой способ последовательного вычисления разностей, конечно, проще, чем вычисление по формуле (6). Дифференциалы вычисляются по известным формулам, указанным наверху таблицы, причем надо положить

Сравним точное и приближенное значения второй производной у при . В рассматриваемом случае

Приближенно эта производная выражается отношением и при мы получим

Если есть многочлен от

то, вычисляя по формуле (4), получим для выражение в виде целого многочлена степени со старшим членом что нетрудно проверить. Таким образом, в случае будет многочленом второй степени от многочленом первой степени, постоянной и нулем (см. таблицу). Предлагаем читателю в качестве упражнения показать, что значения должны в рассматриваемом примере на одну ступень запаздывать но сравнению с что видно из таблицы.