47. Производные простейших функций.

Из понятия производной следует, что для определения производной надо составить приращение функции, разделить его на соответствующее приращение независимой переменной и найти предел этого отношения при стремлении приращения независимой переменной к нулю. Применим это правило к некоторым простейшим функциям.

I. (постоянная) [12].

т. е. производная постоянной равна нулю.

II. ( - целое положительное число).

В частности, если то . В дальнейшем мы обобщим это правило дифференцирования степенной функции на любые значения показателя п.

так как при стремлении у к нулю [33].

так как при О переменная также стремится к нулю и

VI. где с — постоянная и есть функция от

т. е. производная от произведения постоянной величины на переменную равна произведению этой постоянной на производную от переменного сомножителя, или, другими словами, постоянный множитель можно выносить за знак производной.

Как мы знаем, . Применяя правило VI, получим

VIII. Рассмотрим производную от суммы нескольких функций; для определенности ограничимся тремя слагаемыми:

т. e. производная суммы нескольких функций равна сумме произеодных этих функций.

IX. Рассмотрим теперь производную от произведения двух функций:

Прибавляя к числителю величину и вычитая из него ту же величину, получим

т. e. для случая двух сомножителей мы показали, что производная произведения равна сумме произведений производных каждого из сомножителей на остальные.

Докажем справедливость этого правила для трех сомножителей, соединяя два сомножителя в одну группу и применяя правило к случаю двух сомножителей:

Применяя известный метод математической индукции, нетрудно распространить это правило на случай любого конечного числа сомножителей.

X. Пусть теперь у есть частное:

Вычитая и прибавляя к числителю второй из дробей произведение , получим, принимая во внимание непрерывность

т. e. производная дроби (частного) равна производной числителя, умноженной на знаменатель, минус производная знаменателя, умноженная на числитель, все разделенное на квадрат знаменателя.

При выводе правил VI, VIII, IX и X мы предполагали, что функции имеют производные, и доказали существование производной у функции у.