42. Точные границы числовых множеств. Признаки существования предела.

Докажем теперь теорему о точных границах множества вещественных чисел, которую мы формулировали в [39].

Теорема. Если множество Е вещественных чисел ограничено сверху» то оно имеет точную верхнюю границу, и если Е ограничено снизу, то оно имеет точную нижнюю границу.

Ограничимся доказательством первой части теоремы. По условию все числа из Е меньше некоторого числа М.

Произведем сечение вещественных чисел следующим образом: ко второму классу отнесем все числа, большие всех чисел из а к первому — остальные вещественные числа. Во второй класс попадут, например, все числа где , а в первый класс попадут, например, все числа из Е. Пусть — вещественное число, определенное произведенным сечением. По основной теореме [40] оно будет наибольшим в первом классе или наименьшим во втором. Покажем, что и есть точная верхняя граница Е. Во-первых, среди Е нет чисел, больших , ибо все числа Е попали в первый класс. Далее, наверно существуют числа Е, большие () при любом ибо, если бы таких чисел не было, то число было бы больше всех чисел Е и должно было бы попасть во второй класс, а в действительности оно меньше и находится в первом классе. Теорема, таким образом, доказана. Очевидно, что если принадлежит то оно будет наибольшим из чисел Е.

Докажем теперь существование предела у монотонной ограниченной переменной [30]. Итак, пусть переменная все время возрастает или, по крайней мере, не убывает, т. е. всякое ее значение не меньше любого предыдущего. Пусть, кроме того, ограничено, т. е. существует такое число М, что все значения меньше М. Рассмотрим совокупность всех значений По доказанной теореме существует точная верхняя граница для этой совокупности. Покажем, что и есть предел Пусть — произвольное положительное число. По определению точной верхней границы найдется значение большее (). Тогда, в силу монотонности, и все последующие значения будут больше (), но, с другой стороны, они не могут быть больше , и, в силу произвольности , мы видим, что Точно так же можно разобрать и случай убывающей переменной.

Прежде чем переходить к доказательству признака Коши [31], докажем одну теорему, которой мы будем пользоваться.

Теорема. Пусть имеется последовательность конечных промежутков

причем каждый следующий промежуток заключается в предыдущем, т. е. и пусть длины этих промежутков стремятся к нулю, т. е. . При этом концы промежутков стремятся к общему пределу при возрастании .

По условию теоремы мы имеем и, кроме того, при любом . Таким образом, последовательность будет монотонной и ограниченной, а потому будету иметь предел: . Из условия вытекает где и, следовательно, имеет предел, также равный а.

Перейдем теперь к доказательству признака Коши. Ограничимся случаем переменной, значения которой можно пронумеровать:

Надо доказать, что необходимое и достаточное условие существования предела последовательности (27) заключается в следующем: для любого задан-Ного положительного существует такой значок N, что

Покажем, что это условие достаточно, т. е. что при выполнении этого Кловия последовательность (27) имеет предел. Из наших прежних рассуждений [31] вытекает, что если условие выполнено, то можно построить последовательность промежутков

со следующими свойствами: каждый следующий заключается в предыдущем, длины стремятся к нулю и всякому интервалу соответствует такое целое положительное число что все при принадлежат

Эти интервалы суть отрезки из [31]. По доказанной выше теореме имеется общий предел:

Покажем, что а и есть предел последовательности (27). Пусть задано положительное число . В силу (29) существует такое целое положительное что промежуток и все следующие промежутки лежат внутри промежутка .

Отсюда следует, что и все числа при принадлежат этому же промежутку, т. е. при Ввиду произвольности мы видим, что а есть предел последовательности (27), и достаточность условия (28) доказана. Необходимость этого условия была доказана нами раньше [31]. Доказательство остается в силе и для не пронумерованной переменной.