85. Овалы Кассини и лемниската.
Овалы Кассини получаются как геометрическое место точек М, для которых произведение расстояний от двух данных точек 
есть величина постоянная:
Обозначим длину 
через 2а, направим полярную ось по линии 
и полюс О поместим в середине отрезка 
Из треугольников 
и 
находим
Подставляя эти выражения в уравнение овалов и возводя его обе части в квадрат, получим после элементарных преобразований
откуда
Случаи, соответствующие 
изображены на рис. 112, причем второму случаю соответствует кривая, состоящая из двух отдельных замкнутых кривых. Мы рассмотрим более подробно лишь тот важный случай, когда 
Соответствующая кривая называется лемнискатой и ее уравнение будет
Уравнение это дает вещественные значения для 
, только когда 
, т. е. когда 
лежит в одном из промежутков
причем 
обращается в нуль при
Нетрудно на основании этих соображений построить кривую (рис. ИЗ).
Рис. 112.
Рис.
В точке О кривая будет пересекать самое себя, и пунктирные прямые представляют собою касательные к двум ветвям кривой, пересекающимся в точке О. Дифференцируя обе части уравнения лемнискаты по 
, получим
откуда
Переходя от полярных координат к прямоугольным, из формулы (39) имеем
Уравнение лемнискаты можно написать в виде
подставляя предыдущие выражения, получим уравнение лемнискаты в прямоугольных координатах
откуда видно, что лемниската есть алгебраическая кривая четвертого порядка.
