157. Неявные функции.

Укажем сейчас правила дифференцирования функций, заданных неявно. При этом мы будем предполагать, что написанные уравнения действительно определяют некоторую функцию, имеющую соответствующие производные. В [159] при некоторых условиях мы докажем это. Если у есть неявная функция от

то первая производная у этой функции определяется, как мы знаем, из уравнения [69]:

Уравнение (16) мы получали, предполагая в равенстве (15) у функцией от и дифференцируя обе части этого тождества по Поступая так же с (16), получим уравнение для определения второй производной

Дифференцируя еще раз по х, получим уравнение для определения третьей производной у и т. д.

Обратим внимание на то, что в получаемых таким образом уравнениях коэффициент при искомых производных неявной функции будет один и тот же, а именно и потому, если при некоторых значениях х и у, удовлетворяющих уравнению (15), этот коэффициент отличен от нуля, то при этих значениях указанный выше прием даст вполне определенные значения для производных любого порядка неявной функции. При этом, конечно, предполагается существование частных производных от левой части уравнения (15).

Рассмотрим уравнение с тремя переменными

Такое уравнение определяет z как неявную функцию от независимых переменных и если заменить в левой части этого уравнения z именно этой функцией от и у, то левая часть уравнения станет равна тождественно нулю. Таким образом, дифференцируя левую часть этого уравнения по независимым переменным х и у в предположении, что z есть функция от них, мы должны получить нуль:

Из этих уравнений определятся частные производные первого порядка Дифференцируя первое из написанных соотношений еще раз по получим уравнение для определения частной производной и т. д. Во всех получаемых уравнениях коэффициент при искомой производной будет Ф(х, у, z). Рассмотрим теперь систему уравнений

Будем считать, что эта система определяет у и z как неявные функции от Дифференцируя оба уравнения системы по в предположении, что у и z суть функции от получим систему уравнений первой степени для определения производных у и от у и z по

Дифференцируя эти соотношения еще раз по получим систему уравнений для определения вторых производных и . Дифференцируя еще раз по получим систему уравнений для определения

у и Z и т. д.

Производные порядка будут при этом определяться из системы вида:

где А и В — выражения, содержащие производные порядка ниже . Такая система, как это известно из элементарной алгебры, будет давать одно определенное решение, если выполнено условие:

При всех тех значениях х, у и z, удовлетворяющих системе при которых это условие выполнено, описанный выше прием приведет к вполне определенным значениям производных.

Если имеется система уравнений с переменными, то такая система определяет, вообще говоря, переменных как неявные функции остальных переменных, и производные этих неявных функций могут быть получены указанным выше приемом последовательного дифференцирования уравнений по независимым переменным.