54. Механическое значение второй производной.

Рассмотрим прямолинейное движение точки:

где, как всегда, t есть время и s — путь, отсчитываемый от определенной точки прямой. Дифференцируя один раз по t, получим скорость движения:

Составим вторую производную, которая представляет собою предел отношения при стремлении М к нулю. Отношение характеризует быстроту изменения скорости за промежуток времени М и дает среднее ускорение за этот промежуток времени, а предел этого отношения при стремлении М к нулю дает ускорение w рассматриваемого движения в момент времени

Положим, что есть многочлен второй степени:

т. е. ускорение w постоянно и коэффициент Подставляя получим т. е. коэффициент равен начальной скорости, и , т. е. с равно расстоянию точки в момент времени от начала координат на прямой.

Подставляя найденные значения а, b и с в выражение для s, получим формулу для пути в равномерно ускоренном или равномерно замедленном движении:

Вообще, зная закон изменения пути, мы можем, два раза дифференцируя по определить ускорение w, а следовательно, и силу производящую движение, так как, согласно второму закону Ньютона, где — масса движущейся точки.

Все сказанное годится лишь для прямолинейного движения. В случае криволинейного движения, как доказывается в механике, дает лишь проекцию вектора ускорения на касательную к траектории.

Рассмотрим для примера случай гармонического колебательного движения точки М, когда расстояние 5 этой точки от некоторой определенной точки О на прямой, по которой движется трчка М, определяется по формуле:

где а — амплитуда, — период колебания и — фаза суть величины постоянные. Определим, дифференцируя, скорость v и силу

т. e. сила по величине пропорциональна длине отрезка ОМ и направлена в противоположную сторону. Иными словами, сила направлена всегда от точки М к точке О и пропорциональна удалению точки М от точки О.