149. Вторая теорема Абеля.

Если R есть радиус сходимости ряда (67), то ряд сходится не только абсолютно, но и равномерно в любом промежутке лежащем целиком внутри промежутка т. е. для которого

Если же ряд сходится и при или , то он будет равномерно сходящимся и в промежутке или

Заметим, прежде всего, что, не нарушая общности, мы можем считать введя вместо новую независимую переменную t по формуле

после чего ряд (67) превратится в степенной ряд относительно переменной t, а промежуток перейдет в (-1, 1).

Если R = 1, то, по определению радиуса сходимости, ряд (67) будет сходиться абсолютно при всяком значении для которого Рассмотрим теперь любой промежуток лежащий внутри так что

Выберем за любое число, лежащее внутри но по абсолютному значению большее При всяком в промежутке имеем

и так как ряд

сходится абсолютно и члены его не зависят от то по признаку Вейерштрасса ряд (67) сходится равномерно в промежутке

Допустим теперь, что ряд (67) сходится и при т. е. что ряд

сходится. Полагая

мы можем применить к ряду (67) признак Абеля, который покажет, что ряд (67) будет равномерно сходиться во всем промежутке , где а — любое число, большее — 1.

Случай, когда ряд (67) сходится при приводится к предыдущему, если заменить на .

Обозначим через сумму ряда (67). Она существует, конечно, лишь при тех значениях при которых ряд сходится. Пусть R — радиус сходимости ряда. Принимая во внимание равномерную сходимость ряда во всяком промежутке для которого

и свойство 1) из [146], можем утверждать, что сумма ряда есть непрерывная функция во всяком из указанных промежутков Иначе говорят, что непрерывна внутри промежутка Дальше мы увидим, что эта функция имеет сколько угодно производных внутри промежутка . Если ряд (67) сходится и при то в силу доказанной равномерной сходимости во всяком промежутке , где будет непрерывной функцией в этом промежутке, и, в частности, f(R) будет пределом при стремлении к R слева [35]:

Аналогично при сходимости ряда для .

Выше мы видели, что разложение бинома Ньютона [131]

имеет радиус сходимости и в некоторых случаях сходится при

В силу только что доказанного можно утверждать, что если, например, ряд сходится при то его сумма при этом равна