143. Ряды с переменными членами. Равномерно сходящиеся ряды.

Формулы Тейлора и Маклорена представляют примеры рядов, члены которых зависят от переменной Во второй части курса мы познакомимся с весьма важными тригонометрическими рядами, которые имеют вид:

лены которых зависят также не только от но и от переменной

Мы займемся теперь, вообще, рядами с переменными членами, зависящими от некоторой независимой переменной

Пусть имеется бесконечная последовательность функций

определенных в промежутке Составим из них ряд

Он может сходиться для каких-либо значений из и расходиться для других . Сумма первых членов ряда есть, очевидно, функция от

Для значений при которых ряд (32) сходится, мы можем говорить о его сумме и остатке При этом

Если ряд (32) сходится при всех из , т. е. при то говорят, что он сходится в промежутке

Если ряд (32) сходится в промежутке и имеет сумму , то это значит, что при каждом данном значении из задав произвольно положительное число , можно найти такое число N, чтобы при всех значениях мы имели при причем, очевидно, это число N будет зависеть от выбора . Необходимо, однако, отметить, что N будет, вообще говоря, зависеть еще от выбранного значения т. е. может иметь различные значения при заданном и различном выборе из промежутка и его мы будем обозначать через Если при любом данном положительном можно найти такое число N, не зависящее от чтобы при любом значении из промежутка выполнялось неравенство

при всех то ряд (32) называют равномерно сходящимся в промежутке

Рассмотрим, например, ряд

причем меняется в промежутке (0, а), где а — любое данное положительное число.

Нетрудно видеть, что ряд можно переписать так:

так что в данном случае

и если мы хотим сделать

то достаточно взять

Если теперь мы хотим, чтобы неравенство (36) выполнялось при всех значениях в промежутке (0, а), при условии независимо от взятого значения то достаточно положить так как тогда неравенство (37), а потому и (36), при условии будет выполнено наверное при всех значениях в промежутке (0, а). Итак, ряд (35) будет равномерно сходящимся в промежутке (0, а).

Не всякий ряд обладает свойством равномерной сходимости, так как не для всякого ряда можно указать не зависящее от число которое было бы не меньше всех

Рассмотрим, например, в промежутке ряд

Сумма первых членов будет

то

и, следовательно [26]

и

При мы имеем, подставляя в ряд

то

при и при любом . Ряд (38) сходится во всем промежутке но в этом промежутке сходимость неравномерна. Действительно, в силу при если мы хотим, чтобы выполнялось неравенство то должно быть , или, деля на отрицательное число получим

Итак, в данном случае и не может быть заменено меньшим.

При приближении к единице, функция возрастает беспредельно, и нельзя указать такое значение N, чтобы неравенство (34) выполнялось при во всем промежутке Вследствие этого обстоятельства, хотя ряд (38) и сходится во всем промежутке в том числе и при однако сходимость его будет все медленнее при приближении к единице; для достаточного приближения к сумме ряда нужно будет брать все больше членов, чем ближе будет к единице. Заметим, однако, что при самом значении ряд просто обрывается на втором члене.

Укажем теперь другое определение равномерной сходимости, равносильное прежнему определению. Выше мы формулировали [125] необходимое и достаточное условие сходимости ряда. В рассматриваемом случае оно формулируется так: для сходимости ряда (32) в промежутке необходимо и достаточно, чтобы при любом заданном положительном и любом из существовало такое N, что

при и любом целом положительном . Это N при заданном может зависеть еще от выбора Если же при любом заданном положительном существует число N одно и то же для всех из такое, что при и любом целом положительном выполняется (39), то говорят, что ряд (32) сходится равномерно в промежутке

Надо показать, что это новое определение равномерной сходимости равносильно прежнему определению, т. е. если ряд равномерно сходится в прежнем смысле, то он равномерно сходится и в новом смысле, и наоборот. Итак, пусть сначала ряд равномерно сходится в прежнем смысле, т. е. гл при где любое значение из и N не зависит от Мы имеем, очевидно

и, следовательно,

что при и, следовательно, дает

Ввиду произвольного выбора мы видим, что ряд равномерно сходится в новом смысле. Положим теперь, что ряд равномерно сходится в новом смысле, т. е. что выполнено неравенство (39) при не зависящем от любом целом положительном и любом из . Из этого следует, что ряд сходится, и мы можем образовать

причем из неравенства (39) при получаем в пределе при , т. е. из нового определения равномерной сходимости, в силу произвольности , вытекает прежнее, и равносильность обоих определений доказана.

Отметим, что при первом определении равномерной сходимости (34) мы используем и тем самым уже дополнительно предполагаем, что ряд сходится. Второе определение равномерной сходимости (39) включает и самый факт сходимости ряда.