40. Вещественные числа.

Начнем с изложения теории вещественных чисел. Мы исходим из множества всех рациональных чисел, целых и дробных, как положительных, так и отрицательных. Все эти рациональные числа можно себе представить расположенными в порядке их возрастания. При этом если а и b два любых различных рациональных числа, то между ними можно вставить сколько угодно рациональных чисел.

Действительно пусть , и введем положительное рациональное число , где — какое-нибудь целое положительное число. Рациональные числа лежат между а и b, и, ввиду произвольности в выборе целого положительного числа , наше утверждение доказано.

Назовем сечением в области рациональных чисел всякое разделение всех рациональных чисел на такие два класса, что любое число одного (первого) класса меньше любого числа другого (второго) класса. При этом, очевидно, если некоторое число находится в первом классе, то и всякое меньшее его число также находится в первом классе, и если некоторое число находится во втором классе, то и всякое большее число также нахо дится во втором классе.

Положим, что среди чисел первого класса есть наибольшее число. При этом, в силу упомянутого свойства совокупности рациональных чисел, можно утверждать, что среди чисел второго класса нет наименьшего числа. Точно так же, если среди чисел второго класса есть наименьшее, то среди чисел первого класса нет наибольшего. Назовем сечение — сечением первого рода, если среди чисел первого класса есть наибольшее или среди чисел второго класса есть наименьшее. Легко построить такие сечения. Возьмем какое нибудь рациональное число b и отнесем к первому классу все рациональные числа, меньшие b, ко второму классу — все рациональные числа, большие а само число b отнесем или к первому классу (оно будет там наибольшим) или ко второму классу (оно будет там наименьшим). Беря за b всевозможные рациональные числа, мы получим таким образом всевозможные сечения первого рода. Мы будем говорить, что такое сечение первого рода определяет то рациональное число b, которое является наибольшим в первом или наименьшим во втором классе.

Но существуют и сечения второго рода, у которых в первом классе нет наибольшего числа, а во втором классе нет наименьшего числа. Построим пример такого сечения. Отнесем к первому классу все отрицательные - рациональные числа, нуль и те положительные рациональные числа, квадрат которых меньше двух, а ко второму классу отнесем все те рациональные положительные числа, квадрат которых больше двух. Так как не существует, рационального числа, квадрат которого равен двум, то все рациональные числа окажутся распределенными, и мы будем иметь некоторое сечение. Покажем, что в первом классе нет наибольшего числа. Для этого достаточно показать, что если число а принадлежит первому классу, то есть числа, большие а, также принадлежащие первому классу. Если а отрицательно или нуль, то это очевидно; положим, что . По условию составления первого класса с 2. Введем положительное рациональное число и покажем, что можно определить настолько малое положительное рациональное число чтобы также принадлежало первому классу, т. е. чтобы имелось неравенство

т. е. дело сводится к нахождению такого положительного рациональногр числа, которое удовлетворяет неравенству . Считая и, следовательно, , т. е. нам достаточно удовлетворить неравенству , таким образом, опреде ляется из двух неравенств

Очевидно, можно найти сколько угодно таких положительных рациональных х, которые удовлетворяют обоим этим неравенствам.

Совершенно так же можно показать, что во втором классе построенного сечения нет наименьшего числа. Итак, мы построили пример сечения второго рода. Основным моментом теории является следующее соглашение: мы считаем, что всякое сечение второго рода определяет некоторый новый объект — иррациональное число. Разные сечения второго рода определяют разные иррациональные числа. Нетрудно догадаться, что построенный выше пример сечения второго рода определяет то иррациональное число, которое мы обычно обозначаем

Можно расставить теперь все введенные таким образом иррациональные числа вместе с прежними рациональными в порядке возрастания, который интуитивно изображается для нас точками направленной оси ОХ. Если а есть некоторое иррациональное число, то мы обозначим через I(а) и II (а) первый и второй классы того сечения, которое определяет иррациональное число а. Мы считаем число а большим, чем любое число из , и меньшим, чем любое число из II (а). Таким образом, любое иррациональное число сравнивается с любым рациональным. Остается определить понятия больше и меньше для любых двух различных иррациональных чисел Поскольку различны, классы не совпадают, и один из классов заключается в другом. Положим, что заключается в , т. е. всякое число из принадлежит , но есть числа из , принадлежащие II(а). При этом мы по определению считаем . Таким образом, совокупность всех рациональных и иррациональных чисел, т. е., иначе говоря, совокупность всех вещественных чисел расположена в порядке. При этом, пользуясь данными выше определениями, нетрудно показать, что если а, b и с — вещественные числа то .

Отметим прежде всего одно элементарное следствие из указанных определений. Пусть - некоторое иррациональное число. Поскольку в классе нет наибольшего, а в классе нет наименьшего числа, то непосредственно очевидно, что между а и любым рациональным числом а можно вставить сколько угодно рациональных чисел. Пусть теперь два различных иррациональных числа. Часть рациональных чисел из входит в II(а), и отсюда непосредственно следует, что между также можно вставить сколько угодно рациональных чисел, т. е. вообще, между двумя различными вещественными числами можно вставить сколько угодно рациональных чисел.

Мы переходим теперь к доказательству основной теоремы теории иррациональных чисел. Рассмотрим совокупность всех вещественных чисел и произведем в ней какое-нибудь сечение, т. е. распределим все вещественные числа (не только рациональные, но и иррациональные) на два класса I и II так, чтобы любое число из I было меньше любого числа из И. Докажем, что при этом обязательно или в классе I будет наибольшее число или в классе II будет наименьшее число (одно исключает другое, как и выше для сечения в области рациональных чисел). Для этого обозначим через Г совокупность всех рациональных чисел из I и через IP — совокупность всех рациональных чисел из II. Классы (Р, IP) определяют некоторое сечение в области рациональных чисел, и это сечение определит вещественное число а (рациональное или иррациональное). Положим для определенности, что это число а принадлежит классу I при упомянутом выше распределении всех вещественных чисел на два класса. Покажем, что а должно быть наибольшим числом из класса I. Действительно, если бы это было не так, то существовало бы классе I вещественное число , большее а. Возьмем некоторое рациональное число , лежащее между , т. е. . Оно должно принадлежать классу I и, следовательно, классу .

Таким образом, в первом классе сечения , определяющего числа а, уходится число , большее, чем а. Этого быть не может, и, следовательно, предположение, что а не наибольшее число класса 1 — неправильно.

Совершенно так же можно показать, что если а попадает в класс II, то должно быть там наименьшим числом.

Итак, мы доказали следующую основную теорему:

Основная теорема. В любом сечении, произведенном области вещественных чисел, обязательно: или первый класс содержит наибол? шее число или второй класс содержит наименьшее число.

Всем рассуждениям настоящего номера легко придать простой геометрический смысл. Сначала мы рассматриваем на оси ОХ только точки с рациональными абсциссами. Сечению в области рациональных чисел соответствует разрез прямой ОХ на две полупрямые. Если разрез происходит в точке с рациональной абсциссой, то получается сечение первого рода, причем абсцисса той точки, в которой происходит разрез, причисляется сама иди к первому или ко второму классу. Если же разрез производится в которой не соответствует рациональная абсцисса, то получается второго рода, определяющее иррациональное число, которое и принимается за абсциссу той точки, в которой произведен разрез. После заполнения таких пустых точек иррациональными абсциссами всякое рассечение прямой происходит уже в точке с некоторой вещественной абсциссой. Все является лишь геометрической иллюстрацией и не имеет доказательной силы, Нетрудно, пользуясь данным определением иррационального числа а, образовать бесконечную десятичную дробь, соответствующую этому числу 2. Всякий конечный отрезок этой дроби должен принадлежать I (а), но если увеличим на единицу последнюю цифру этого отрезка, то соответствующей рациональное число должно находиться в II (а).