152. О предельном переходе.

Остановимся более подробно на понятии предела, ограничиваясь случаем функции двух переменных. Если существует предел

то будем говорить, что существует предел по обеим переменным. Как мы знаем [67], это значит, что стремится к пределу А при любом законе стремления точки . В частности

В первом случае стремится к по прямой, параллельной оси ОХ, а во втором случае — по прямой, параллельной оси OY. Отметим, что из существования пределов (2) и их равенства еще не вытекает существование предела (1). В качестве примера рассмотрим функцию

и положим Мы имеем

а предел (1) в этом случае не существует. Действительно, полагая можем переписать нашу функцию в виде

Если точка стремится к по прямой, проходящей через начало и образующей угол с осью ОХ, то выражаемая формулой (3), остается постоянной, и ее величина зависит от выбора откуда и следует, что предел (1) не существует в рассматриваемом примере. Отметим, что формула (3) не определяет функцию в самой точке

Кроме предельного перехода (1), можно рассматривать еще повторные пределы, соответствующие предельному переходу сначала по при постоянном у, отличном от а затем по у, или наоборот:

Может оказаться, что оба повторных предела существуют, но различны. Так, например, для функции

мы имеем, как нетрудно проверить,

Но имеет место

Теорема. Если существует предел по обеим переменным (1), и при всяком достаточно близком к а и отличном от а, существует предел

то существует первый повторный предел (4) и он равен А, т. е.

Из существования предела (1) следует [67], что для любого заданного положительного существует такое положительное , что

причем не совпадает с Фиксируем отличное от а, так, чтобы иметь Принимая во внимание (5) и переходя в неравенстве (7) к пределу по у, получим

откуда, ввиду произвольности , следует равенство (6).

Замечание. Совершенно так же, если мы предположим, что существует предел (1) и что при всяком у, достаточно близком к b и отличном от b, существует предел

то существует второй повторный предел (4) и он равен А, т. е.

Если предел (1) существует и равен то функция непрерывна в точке или, как говорят, непрерывна по обеим переменным в точке . При этом, в силу (2),

т. e. функция непрерывна по каждой переменной в отдельности в точке о чем мы говорили и раньше [67]. Наоборот, из непрерывности по каждой переменной еще не вытекает непрерывности по обеим переменным. Действительно, определим функцию формулой (3) вне начала координат и положим Как мы упоминали выше, мы имеем при этом

т. е. функция непрерывна по каждой переменной в точке (0, 0). Но она не является непрерывной по обеим переменным, ибо, как мы видели, не существует определенного предела при стремлении

Если имеет в некоторой области, содержащей точку внутри себя, частные производные, то, как мы показали [68], имеет место формула

Положим, что частные производные ограничены в упомянутой области, т. е. по абсолютной величине не превышают некоторого числа М. При этом написанная формула дает

и правая часть этого неравенства стремится к нулю при откуда следует

т. е. если имеет внутри некоторой области ограниченные частные производные, то она непрерывна внутри этой области.

Функция (3) при дополнительном соотношении равна нулю на всей оси ОХ и на всей оси точке она имеет, очевидно, частные производные, равные нулю. В остальных точках она также имеег частные производные:

т. е. указанная выше функция имеет частные производные на всей плоскости. Все же она, как мы видели, не обладает непрерывностью в точке (0, 0). Это объясняется тем, что частные производные могут принимать сколь угодно большие по абсолютной величине значения при приближении точки к началу координат.