62. Теорема Ролля.

Если функция f(x) непрерывна в промежутке имеет производную в каждой точке внутри этого промежутка и значения функции на концах этого промежутка равны, т. е. то внутри промеоюутка существует, по крайней мере, одно такое значение с, при котором производная обращается в нуль, т. е. .

Непрерывная функция должна достигать в рассматриваемом промежутке наименьшего значения и наибольшего значения М. Если бы оказалось, что эти наименьшее и наибольшее значения одинаковы, т. е. то отсюда следовало бы, очевидно, что функция во ясем промежутке сохраняет постоянное значение, равное (или ). Но, как известно, производная от постоянной равна нулю, и, следовательно, в этом простом случае во всякой точке внутри промежутка производная была бы равна нулю. Обращаясь к рассмотрению общего случая, мы можем, следовательно, считать, что

Так как значения функции на концах по условию одинаковы, т. е. то, по крайней мере, одно из чисел или М отлично от этого общего значения на концах. Положим, например, что это будет М, т. е. что наибольшее значение функции достигается не на концах, а внутри промежутка. Пусть будет та точка, где это значение достигается. Согласно теореме Ферма, мы будем иметь в этой точке что и доказывает теорему Ролля.

Й частном случае, если можно теорему Ролля формулировать кратко так: между двумя корнями функции заключается, по крайней мере, один корень первой производной.

Рис. 68.

Теорема Ролля имеет простое геометрическое значение. По условию, , т. е. ординаты кривой , соответствующие концам промежутка, равны, и внутри этого промежутка существует производная, т. е. кривая имеет определенную касательную. Теорема Ролля утверждает, что при этом внутри промежутка будет существовать, по крайней мере, одна такая точка, в которой производная будет равна нулю, т. е. в которой касательная будет параллельна оси ОХ (рис. 68).

Замечание. Если не выполнено условие теоремы Ролля о существовании производной во всех точках внутри промежутка, то теорема может оказаться и неверной.

Так, например, функция

непрерывна в промежутке но производная

внутри промежутка в нуль не обращается. Происходит это оттого, что не существует (обращается в бесконечность) при х = 0 (рис. 69).

Другой пример дает кривая, изображенная на рис. 70.

Рис. 69.

Рис. 70.

В этом случае мы имеем кривую , у которой . Однако из чертежа видно, что касательная внутри промежутка не может быть параллельна оси ОХ, т. е. не обращается в нуль.

Происходит это оттого, что кривая в точке си имеет две различные касательные, справа и слева от этой точки, и, следовательно, в этой точке не существует определенной производной, и условие теоремы Ролля о существовании производной во всех точках внутри промежутка не выполнено.