104. Вычисление объемов тел по их поперечным сечениям.
Вычисление объема данного тела сводится также к вычислению определенного интеграла, если мы умеем определять площадь поперечных сечений тела, перпендикулярных данному направлению.
Рис. 136.
Обозначим через V объем данного тела (рис. 136) и допустим, Что нам известны площади всех поперечных сечений тела плоскостями, перпендикулярными данному направлению, которое мы примем за ось ОХ.
Всякое поперечное сечение определится абсциссой 
точки пересечения его с осью 
а потому площадь этого поперечного сечения будет функцией от 
которую мы обозначим через 
и будем считать известной.
Пусть, далее, а и b означают абсциссы крайних сечений тела. Для вычисления объема V разобьем его на элементы рядом поперечных сечений, начиная от 
и кончая 
рассмотрим один из таких элементов А V, образованный сечениями с абсциссами 
Заменяем объем. А V объемом прямого цилиндра, высота которого равна 
а основание совпадает с поперечным сечением нашего тела, соответствующим абсциссе х (рис. 137).
Рис. 137.
Объем такого цилиндра выразится произведением 
и, таким образом, мы получим следующее приближенное выражение для нашего объема V:
где суммирование распространено на все те элементы, на которые разбито наше тело поперечными сечениями. В пределе, когда число элементов беспредельно возрастает и наибольшее из 
стремится к нулю, написанная сумма превращается в определенный интеграл, который и дает точное значение объема V, что приводит к следующему предложению.
Рис. 138.
Если для данного тела известны все его поперечные сечения плоскостями, перпендикулярными некоторому данному направлению, принятому за ось ОХ, то 
тела V выражается формулой 
где 
означает площади поперечного сечения с абсциссой х, а и b — абсциссы крайних сечений тела.
Пример. Объем цилиндрического отрезка, отсекаемый от прямого кругового полуцилиндра плоскостью, проведенной через диаметр его основания (рис. 138). Примем диаметр АВ за ось 
точку А — за начало координат; обозначим радиус основания цилиндра через 
, угол, образуемый верхним сечением отрезка с его основанием, через а.
Поперечное сечение, перпендикулярное диаметру 
имеет вид прямоугольного треугольника 
и его площадь выражается формулой
Далее, по известному свойству окружности, отрезок PQ есть среднее геометрическое между отрезками АР, РВ диаметра АВ, а потому
и окончательно
Применяя формулу (23), для искомого объема V получим 
если ввести „высоту" отрезка 
.
