147. Признаки равномерной сходимости.
Укажем некоторые достаточные условия равномерной сходимости.
Ряд функций, определенных в промежутке 
сходится равномерно в промежутке 
если выполнено одно из следующих условий:
(А) Можно найти последовательность положительных постоянных
таких, что
и ряд
сходящийся (признак Вейерштрасса).
(Б) Функции 
могут быть представлены в виде
где 
суть постоянные, такие, что ряд
сходится; функции же 
все неотрицательны, остаются меньше постоянного положительного числа М и при каждом значении 
в промежутке 
(признак Абеля).
Доказательство (А). Так как ряд (60) сходится, то при данном 
можно найти такое число N, чтобы при всех 
и при всех 
мы имели 
в силу же неравенств (59) и
откуда [143] и вытекает равномерная сходимость ряда (55). Доказательство (Б). Положим
откуда непосредственно следует
Оценим выражение
Подставляя вместо 
их выражения через 
и собирая члены с одинаковыми 
, получим
Принимая во внимание, что 
и все разности 
по условию неотрицательны, можем написать
или, обозначая через а наибольшее из абсолютных значений 
получаем, производя сокращения,
Из определения 
и сходимости ряда (62) вытекает, что для любого заданного положительного 
существует такое N, что при 
и всяком 
мы имеем
Принимая во внимание еще, что по условию 
, получаем в силу (64),
при 
и любом 
. Так как N не зависит от 
то отсюда и вытекает равномерная сходимость ряда (55) в промежутке 
Примеры.
1. Ряды
сходятся равномерно во всяком промежутке, так как при всяком 
имеем:
и ряд 
при сходящийся [122] (признак Вейерштрасса).
2. Если ряд сходится, то и ряд
равномерно сходится в промежутке 
при любом l, так как, положив здесь
удовлетворим всем условиям признака Абеля.
