125. Общий признак сходимости.

В заключение настоящего параграфа упомянем о необходимом и достаточном условии сходимости ряда

Сходимость эта по определению равносильна существованию предела у последовательности

где сумма первых членов ряда. Но для существования этого предела мы имеем следующее необходимое и достаточное условие Коши [31]:

для любого заданного положительного существует такое Ыучто

при всяких Положим для определенности, что и пусть где р — любое целое положительное число. Заметив, что тогда

мы можем высказать следующий общий признак сходимости ряда. Для сходимости бесконечного ряда

необходимо и достаточно, чтобы для любого заданного положительного существовало такое число N, что при всяком и при всяком положительном выполняется неравенство

т. е. сумма какого угодно числа последовательных членов ряда, начиная с остается по абсолютному значению меньше , коль скоро

Необходимо заметить, что при зсей теоретической важности этого общего признака сходимости ряда, применение его на практике обычно затруднительно.