187. Правило Горнера.

Укажем теперь практически удобное правило для вычисления значений и производных при заданном значении

Пусть при делении на (z — а) получается частное и остаток при делении на (z — а) — частное и остаток

Перепишем формулу (6) в виде:

Сравнивая эту формулу с первым из написанных выше равенств, получим

Поступая точно так же с найдем:

и, вообще,

Положим теперь

и покажем, каким образом можно вычислять коэффициенты частного и остаток Раскрывая скобки и собирая члены с одинаковыми степенями z, получим тождество

и сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях z:

откуда

Эти равенства и дают возможность последовательно определить величины Точно так же, обозначив частное и остаток при делении на (z — а),

будем иметь

т. е. коэффициенты вычисляют последовательно при помощи 65, так же как при помощи .

Указанный прием вычисления называется правилом, или алгорифмом, Горнера. Применяя это правило, мы получим величины

Приведем схему вычислений, которая понятна без пояснений:

Пример. Найти значения функции

и ее производных при .