145. Свойства равномерно сходящихся последовательностей.

1. Предельная функция равномерно сходящейся в промежутке последовательности непрерывных функций также непрерывна.

Пусть

данная последовательность функций, причем все они непрерывны в промежутке и пусть

ее предельная функция. Нам нужно доказать, что, задав наперед сколь угодно малое положительное число , можно найти такое число , чтобы было [35]:

при условии, что оба числа лежат в промежутке Мы можем писать при любом :

В силу определения равномерной сходимости, мы можем выбрать настолько большим, чтобы во всем промежутке в том числе и при значениях , было

Выбрав так n и фиксировав его, в силу непрерывности функции мы можем найти такое число чтобы было

Сопоставив все эти неравенства, мы и получим неравенство (49).

Если последовательность функций сходится неравномерно, то предельная функция может и не быть непрерывной, примером чего может служить хотя бы последовательность в промежутке (0, 1).

Обратное утверждение, однако, неверно, — и для неравномерно сходящейся последовательности предельная функция может быть непрерывной, например, для последовательности:

2. Если

есть равномерно сходящаяся последовательность непрерывных в промежутке функций и — любой промежуток, лежащий в то

или, иначе,

Если пределы интегрирования переменные, например, то последовательность функций

также сходится равномерно в промежутке Процесс этот называется переходом к пределу под знаком интеграла.

Заметим прежде всего, что в силу свойства 1) предельная функция также непрерывна. Рассмотрим теперь разность

Задав число , мы можем, в силу равномерной сходимости, найти такое число N, чтобы при всех значениях во всем промежутке мы имели

а потому

Итак, для любого промежутка , заключающегося в имеем

при Правая часть неравенства не зависит от и стремится к нулю, если Ввиду произвольности мы можем формулировать результат так: при любом заданном положительном существует N, не зависящее от , такое, что

при Отсюда непосредственно вытекает формула (50). Полагая и принимая во внимание независимость N от , видим, что последовательность (52) сходится равномерно для всех: из

Рис. 162.

Для неравномерно сходящихся последовательностей эта теорема может оказаться и неверной. Пусть, например,

(рис. 162). Нетрудно показать, разбирая отдельно случаи что при всяком в промежутке (0, 1)

так что здесь

Последовательность эта, однако, не может быть равномерно сходящейся, так как наибольшая ордината кривой или, что то же самое, наибольшая величина разности которая получается при возрастает беспредельно при .

С другой стороны, мы имеем

в то время как

3. Если функции последовательности

имеют непрерывные производные

в промежутке причем последовательность равномерно сходится к предельной функции а а последовательность сходится к предельной функции то также сходится равномерно и

или иначе

Процесс этот называется переходом к пределу под знаком производной. Пусть а — любое постоянное, переменное значение на промежутке . В силу свойства 2) мы имеем

Но

а потому предыдущая формула дает

Дифференцируя это равенство и пользуясь известными свойствами определенного интеграла (свойство VII) [95], мы имеем

что и требовалось доказать. Остается доказать равномерную сходимость последовательности Имеем

Последовательность сходится и вовсе не содержит х. Последовательность сходится равномерно в силу свойства 2). Отсюда и вытекает равномерная сходимость так как из определения равномерной сходимости непосредственно вытекает, что сумма двух равномерно сходящихся последовательностей есть также равномерно сходящаяся последовательность. Кроме того, всякая сходящаяся последовательность, члены которой не содержат как, например, подходит под определение равномерно сходящейся последовательности.

Заметим еще, что мы доказали равномерную сходимость во всем промежутке используя лишь равномерную сходимость и сходимость и, следовательно, при формулировке последнего свойства достаточно потребовать сходимости в одной точке Отсюда, как мы уже сказали, будет вытекать равномерная сходимость во всем промежутке .