28. Основные теоремы.

Дальнейшие теоремы мы будем проводить для пронумерованных переменных. В общем случае доказательство совершенно аналогично

1. Если слагаемые алгебраической суммы нескольких (определенного числа) переменных имеют пределы, то и их сумма имеет пределу и этот предел равен сумме пределов слагаемых.

Рассмотрим алгебраическую сумму и положим, что пронумерованные переменные имеют пределы и с. В силу этого имеем

где величины бесконечно малые. Для последовательных значений суммы имеем

Первая скобка в правой части есть постоянная, а вторая — бесконечно малая величина [26]. Следовательно [27],

то

2. Если сомножители произведения нескольких переменных имеют пределы, то и произведение имеет предел и этот предел равен произведению пределов сомножителей.

Рассмотрим произведение двух сомножителей и положим, что пронумерованные переменные имеют пределы а и b. В силу этого имеем

где величины бесконечно малые. Для последовательных значений произведения имеем

Сумма, стоящая в правой части скобках, есть сумма бесконечно малых. Действительно, первые два слагаемые ее суть произведения Постоянных а и b на бесконечно малые, а в третьем слагаемом первый множитель и потому есть ограниченная величина, а второй множитель бесконечно малая величина.

Таким образом, в правой части первое слагаемое есть постоянная, а второе (скобка) — бесконечно малая [26]. Следовательно, , то есть

3. Если делимое и делитель — переменные величины, имеющие пределы, и предел делителя отличен от нуля, то и частное имеет предел и этот предел равен частному пределов делимого и делителя.

Рассмотрим частное и положим, что пронумерованные переменные имеют пределы а и причем

Докажем, что Для этого достаточно показать, что разность у есть бесконечно малая. По условию где и — бесконечно малые. Имеем

Знаменатель дроби, стоящей в правой части, состоит из двух множителей и, в силу предыдущих двух теорем, стремится к Следовательно, начиная с некоторого значения , знаменатель будет больше и дробь будет, начиная с указанного значения ,

заключаться между нулем и , т. е. будет величиной ограниченной.

Величина есть бесконечно малая. Итак, разность есть бесконечно малая. Следовательно, то есть

Отметим некоторые следствия доказанных теорем. Если стремится к пределу а, то переменная где постоянная и А — целое положительное число, будет стремиться, согласно теореме 2, к пределу Рассмотрим многочлен

где коэффициенты постоянные. Применяя теорему 1 и пользуясь только что сделанным замечанием, можно утверждать, что при стремлении к а этот многочлен будет стремиться к пределу

Точно так же мы можем утверждать, что при указанном изменении рациональная дробь

будет стремиться к пределу

если

эти утверждения имеют место при любом способе стремления к пределу а.

Вместо многочленов, расположенных по степеням одной переменной, мы могли бы, конечно, рассматривать многочлены, расположенные по степеням нескольких переменных, стремящихся к пределам.

Так, например, для пронумерованных переменных, если то