119. Основные свойства бесконечных рядов.

Сходящиеся бесконечные ряды обладают некоторыми свойствами, которые позволяют действовать с ними, как с конечными суммами.

I. Если ряд

имеет сумму s, то ряд

получаемый из предыдущего умножением всех членов на одно и то же число а, имеет сумму ибо сумма первых членов ряда (6) есть

а потому

II. Сходящиеся ряды можно почленно складывать и вычитать, т. е. если

то ряд

также сходится и сумма его равна ибо сумма первых членов ряда

Другие свойства суммы, например независимость суммы от порядка слагаемых, правило перемножения двух сумм и т. п., в применении к бесконечным рядам будут рассмотрены ниже в § 14. Заметим пока, что они справедливы не для всякого ряда. Сочетательный закон справедлив, очевидно, для любого сходящегося ряда, т. е. можно объединять в группы любые рядом стоящие слагаемые. Это сводится к тому, что вместо всех мы берем подпоследовательность , что не меняет предела 8 [27].

III. Свойство сходимости или расходимости ряда не нарушится, если в ряде отбросить или приписать к нему любое конечное число членов с начала.

Действительно, рассмотрим два ряда

Второй получается из первого отбрасыванием первых двух слагаемых. Если обозначить через сумму первых членов первого ряда, а через то же для второго ряда, то, очевидно

причем если то и значок Отсюда видно, что если имеет предел, то и имеет предел, и наоборот. Эти пределы s и , т. е. суммы взятых двух рядов, будут, конечно, различны, а именно

Общий член сходящегося ряда стремится к нулю при беспредельном возрастании :

ибо очевидно, что

и если ряд сходится и имеет сумму s, то

откуда

Таким образом, условие (8) необходимо для сходимости ряда, но оно не достаточно: общий член ряда может стремиться к нулю, и ряд все же может быть расходящимся.

Пример. Гармонический ряд

Здесь мы имеем

Нетрудно, однако, показать, что сумма первых членов ряда (9) беспредельно возрастает. Для этого сгруппируем слагаемые, начиная со второго, в группы из членов:

так что в группе будет членов.

Если в каждой группе заменим все члены последним, наименьшим членом группы, то получится ряд

сумма первых членов которого, равная стремится, очевидно, . Взяв достаточно большое число членов ряда (9), мы можем получить какое угодно число групп, и сумма этих членов будет еще больше, чем и отсюда видно, что для ряда .