194. Способ Ньютона.
Процесс итерации, указанный на рис. 183 и 184, состоит в приближении к искомому корню по прямым, параллельным координатным осям. Мы укажем теперь другие процессы итерации, для которых применяются и прямые, наклонные к координатным осям. Одним из таких способов является способ Ньютона.
Рис. 187.
Рис. 188.
Пусть 
приближенные значения корня 
уравнения
и положим, что в промежутке 
это уравнение имеет один только корень 
. На рис. 187 и 188 изображен график кривой
Абсциссы точек N и Р суть приближенные значения 
корня 
, который является абсциссой точки А В точке 
проведена касательная 
к кривой, и из точки пересечения 
этой касательной с осью абсцисс проведена ордината 
кривой; в точке Q проведена касательная 
к кривой и из точки проведена ордината кривой и т. д.
Точки 
как видно из чертежа, стремятся к точке А, так что их абсциссы 
являются последовательными приближениями для корня 
. Выведем формулу, выражающую 
через 
Уравнение касательной 
будет
Подставляя 
найдем абсциссу точки 
и, вообще,
То обстоятельство, что 
действительно являются приближениями к корню 
, мы усмотрели просто из чертежа, который сделан для того случая, когда 
монотонна и остается выпуклой (или вогнутой) в промежутке 
другими словами, когда 
сохраняют знак в этом промежутке [57, 71]. На строгом аналитическом доказательстве этого мы останавливаться не будем.
Заметим, что если бы мы применили способ Ньютона не к концу 
а к концу 
то не получили бы приближения к корню, как это показывает проведенная пунктиром касательная. В случае рис. 188 кривая обращена вогнутостью в сторону положительных ординат, т. е. 
и способ Ньютона, как мы видим, надо применять к тому концу, где 
Из рис. 187 вытекает, что при 
способ Ньютона нацо применять к тому концу, где ордината 
Мы приходим, таким образом, к следующему правилу: если 
в промежутке 
не обращаются в нуль, а ординаты 
разных знаков, то, применяя способ Ньютона к тому концу промежутка, где знаки 
совпадают, получим последовательные приближения для единственного корня уравнения (36), заключающегося в промежутке 
