124. Абсолютно сходящиеся ряды.

Из прочих рядов с какими угодно членами мы остановимся лишь на рядах абсолютно сходящихся. Ряд

сходится, если сходится ряд, составленный из абсолютных значений членов данного ряда, т. е. ряд

Такие ряды называются абсолютно сходящимися рядами

Итак, допустим, что ряд (36) сходится, и положим

Оба числа наверно, неотрицательны, так как очевидно

С другой стороны, как так и не превосходят , т. е. общего члена сходящегося ряда (36), а потому, в силу признака 2 сходимости рядов с положительными членами [120], оба ряда

будут сходящимися.

Так как мы имеем

то будет сходиться и ряд

который получается вычитанием ряда 2 из Ряда

Сходящиеся ряды с положительными членами представляют частный случай абсолютно сходящихся рядов, признаки сходимости которых получаются непосредственно из признаков сходимости рядов с положительными членами.

Признаки сходимости 1—5, выведенные в [120, 121, 122] для рядов с положительными членами, применяются и к рядам с какими угодно членами, если только условиться заменить везде ил на При этом условии останутся в силе и признаки расходимости 3 и 4 и следствие из них [121].

В частности, в формулировках признаков Коши и Даламбера нужно заменить

Так, например, если то согласно признаку Даламбера [121], ряд с положительными членами (36) сходится, а следовательно, ряд (35) сходится абсолютно.

Если же , т. е. то, при возрастании , члены не убывают по абсолютному значению, а потому не могут стремиться к нулю, и ряд (35) расходится. Отсюда, как и в следствии [121], следует, что если то ряд (35) абсолютно сходится; если же то ряд (35) расходится.

Замечание. Заметим еще, что если члены некоторого ряда (35) по абсолютному значению не больше некоторых положительных чисел и ряд из этих чисел сходится, то ряд (36) и подавно сходится [120], т. е. ряд (35) абсолютно сходится.

Примеры. 1. Ряд (пример [121])

абсолютно сходится всех конечных значениях как положительных, так и отрицательных, ибо

при всех конечных значениях

абсолютно сходится при и расходится при так как

3. Ряд

абсолютно сходится при ибо для него:

Необходимо заметить, что далеко не всякий сходящийся ряд есть вместе с тем и абсолютно сходящийся, т. е. остается сходящимся, если каждый член ряда заменить его абсолютным значением. Так, например, знакопеременный ряд

как мы видели, — сходящийся; если же заменить каждый член его абсолютным значением, получим расходящийся гармонический ряд:

Абсолютно сходящиеся ряды обладают многими замечательными свойствами, которые изложены в § 14. Так, например, только они обладают свойством конечных сумм — независимостью суммы от порядка слагаемых.