131. Бином Ньютона.

Здесь мы имеем, считая , т. е.

где — любое вещественное число, так что формула (13) дает нам:

где остаточный член может быть определен по формуле (8) при

Принимая во внимание, что в данном случае

можем написать

Применяя к интегралу теорему о среднем (13) из [95] и обозначая через где значение t, лежащее между 0 и и входящее в упомянутую теорему о среднем, получим

Если

должен быть сходящимся [118]. Мы имеем

а потому ряд сходится (абсолютно) при и расходится при Хотя ряд (24) и сходится при однако еще неясно, что при этом его сумма равна и приходится еще доказывать, что при . Множитель

в выражении (23) для будет общим членом сходящегося ряда (24), в котором заменено на , а потому [118] стремится к нулю при

Множитель не превосходит единицы при всех значениях п. В самом деле, в рассматриваемом случае а потому как при положительных, так и при отрицательных значениях будет откуда

Последний множитель также остается ограниченным, так как число лежит между 1 и лежит между пределами не зависящими от .

Из сказанного ясно, что по формуле (23) представляется в виде произведения трех множителей, из которых один стремится к нулю, а два других остаются ограниченными при беспредельном возрастании , а потому и

Итак, разложение

имеет место при всех значениях удовлетворяющих условию

Когда показатель есть число целое и положительное, то ряд (25) заканчивается на члене и превращается в элементарную формулу бинома Ньютона. В общем же случае разложение (25) дает обобщение бинома Ньютона для какого угодно показателя т. Полезно отметить особо некоторые частные случаи бинома;

Заметим, что функция при всяких —1 имеет положительные значения [19,44], т. е. сумма ряда (24) при положительна. В частности, например, ряд (27) дает в этом промежутке положительное значение

Примеры. 1. Извлечение корней. Формула (25) особенно удобна для извлечения корней с любой степенью точности. Пусть нужно извлечь корень степени из целого числа А. Всегда можно подобрать целое число а так, чтобы степень а была, по возможности, ближе к А, так что, положив причем мы имели бы

Так как здесь то обозначив отношение через мы можем вычислить по формуле бинома Ньютона, причем ряд будет сходиться тем лучше, чем меньше абсолютное значение рассматриваемого отношения.

Вычислим, например, с точностью до . Мы имеем

Остановимся на написанных членах и оценим ошибку, подставляя в формулу (23)

Множитель как было указано, заключается между нулем и единицей. Множитель будет

ибо

Окончательно из формулы (23) получим

Вычисление оставшихся членов нужно вести с шестью знаками, так как тогда полная ошибка не превзойдет

Вычисление можно расположить следующим образом:

2. Приближенное вычисление длины эллипса. В [103] было полученс следующее выражение для длины эллипса с полуосями а и b:

[формула (22)]. Вводя в рассмотрение эксцентриситет эллипса

получаем:

Интеграл этот точно вычислить нельзя, но его можно вычислить с какой угодно степенью точности, разложив подынтегральную функцию в ряд по степеням :

причем ошибка если ее оценить по формуле (23) при удовлетворяет неравенству

так как

и

Подставив это выражение в (29) для интегрируя и вспомнив формулы (27) [100], находим

где, в силу формулы и неравенства (30),

Формула (31) сама по себе удобна для вычисления длины эллипса, особенно для малых эксцентриситетов. Основываясь на ней, можно указать простое геометрическое построение приближенного выражения для длины эллипса, при котором нужно иметь дело только с окружностями.

Обозначим через и соответственно, среднее арифметическое и среднее геометрическое полуосей эллипса:

и сравним длину l эллипса с длинами двух окружностей радиусов и

Замечая, что

и разлагая в ряды по формуле бинома Ньютона, получим без труда следующие выражения:

причем ошибки если их оценить по формуле (23), удовлетворяют неравенствам:

Отсюда ясно, что при малом эксцентриситете, когда можно пренебречь высшими степенями по сравнению с можно принять за длину эллипса длину любой из двух окружностей, радиусы которых равны среднему арифметическому или среднему геометрическому полуосей. Если желательна большая точность, составим выражение

подобрав множители так, чтобы по возможности большее число членов в выражениях (31) и (34) совпадали между собой. Так как первые два члена каждого из выражений (31), (32) и (33) совпадают, то, прежде всего, должно быть

Приравнивая, далее, между собой коэффициенты при в выражениях (31) и (34), получаем

Решая полученные два уравнения относительно находим

Подставив это в (34), имеем

т. е. оказывается, что совпадают члены не только с но и с и расхождение формул (31) и (35) начинается только с членов с Приняв во внимание найденные выше оценки для и заметив, что

можем окончательно сказать: с ошибкой, не превосходящей длину эллипса с полуосями а, b и эксцентриситетом можно принять длину окружности радиуса , причем