ГЛАВА II. ПОНЯТИЕ О ПРОИЗВОДНОЙ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ

§ 3. ПРОИЗВОДНАЯ И ДИФФЕРЕНЦИАЛ ПЕРВОГО ПОРЯДКА

45. Понятие о производной.

Рассмотрим движущуюся по направленной прямой линии точку. Пройденный ею путь s, отсчитываемый от определенной точки прямой, есть, очевидно, функция времени

так что всякому определенному моменту времени t соответствует определенное значение s. Придадим t приращение и тогда новому моменту времени будет соответствовать путь . В случае равномерного движения, приращение пути пропорционально приращению времени, и в этом случае отношение выражает постоянную скорость движения. В общем случае это отношение зависит как от выбранного момента времени t, так и от приращения М и выражает среднюю скорость движения за промежуток времени от t до Эта средняя скорость есть скорость воображаемой точки, которая, двигаясь равномерно, за промежуток времени М проходит путь . Например, в случае равномерно ускоренного движения мы будем иметь

и

Чем меньше промежуток времени тем с большим правом мы можем считать движение рассматриваемой точки за этот промежуток времени равномерным, и предел отношения при стремлении к нулю, определяет скорость v в данный момент

Так, в случае разномерно ускоренного движения

Скорость v есть так же, как и путь , функция от t; функция эта называется производной функции по таким образом, скорость есть производная от пути по времени.

Положим, что некоторое вещество вступает в химическую реакцию. Количество этого вещества вступившее уже в реакцию к моменту времени есть функция от t. Приращению времени будет соответствовать приращение величины и отношение выражает среднюю скорость химической реакции за промежуток времени а предел этого отношения, при стремлении к нулю, выражает скорость химической реакции в данный момент времени L Отвлечемся теперь от примеров и дадим общее определение производной. Положим, что функция определена при некотором фиксированном значении и при всех значениях к нему достаточно близких, т. е. при всех значениях вида где h — любое положительное или отрицательное число, достаточно малое по абсолютному значению. Величину h называют обычно приращением независимой переменной х. Вместо h пишут часто . Соответствующее приращение функции будет: . Составим отношение этих приращений:

Это отношение определено при всех значениях достаточно малых по абсолютной величине, т. е. в некотором промежутке — h кроме Поскольку фиксировано, отношение (1) является функцией только от .

Определение. Если отношение (1) имеет предел (конечный) при стремлении h к нулю то этот предел называется производной функции при заданном х.

Иначе говоря, производной данной функции f(x) при заданном значении называется предел отношенияприращения функции к соответствующему приращению независимого переменного, когда это последнее стремится к нулю если упомянутый предел существует. Для обозначения производной пишут или

Операция нахождения производной называется дифференцированием функции.

Дробь (1) при может и не иметь предела, и тогда производная при заданном значении не существует. Существование предела равносильно следующему [32]: при любом заданном числе существует такое число , что

Предполагая, что производная существует, можем написать

где при . Далее, имеем

откуда следует, что при , т. е. если при некотором значении производная существует, то при этом значении функция непрерывна. Обратное утверждение неправильно, т. е. при непрерывности функции при заданном еще нельзя утверждать, что при этом значении существует производная.

Обратим внимание на то, что при отыскании производной у непрерывной функции мы имеем дробь (1), у которой и числитель и знаменатель стремятся к нулю, причем знаменатель h в нуль не обращается. Отметим один частный случай. Если то числитель дроби есть , а вся дробь равна с, т. е. не зависит от h. Ее предел при также равен с.

При фиксированном значения суть числа. Если функция и производная существуют при всех внутри некоторого промежутка, то является функцией от внутри этого промежутка. В рассмотренном выше случае производная равна числу с при всех