6. Аналитический способ задания функциональной зависимости.

Всякий закон природы, дающий связь одних явлений с другими, устанавливает функциональную зависимость между величинами.

Существует много способов для изображения функциональных зависимостей, но самое важное значение имеют три способа: 1) аналитический; 2) способ таблиц и 3) графический, или геометрический.

Мы говорим, что функциональная зависимость между величинами или, проще, функция изображена аналитически, если величины эти связаны между собой уравнениями, в которые они входят, подвергаясь различным математическим операциям: сложению, вычитанию, делению, логарифмированию и т. д. К аналитическому изображению функций мы приходим, когда исследуем вопрос теоретически, т. е., установив основные предпосылки, мы применяем математический анализ и получаем результат в виде некоторой математической формулы.

Если мы имеем непосредственное выражение функции (т. е. зависимой переменной) при помощи математических действий над другими, независимыми переменными, то говорят, что функция аналитически задана явно. Примером явного задания функции может служить выражение объема газа v при постоянной температуре через давление (явная функция одной независимой переменной):

или выражение площади 5 треугольника через стороны:

(явная функция от трех независимых переменных). Выпишем еще пример явного задания функции от одной независимой переменной х:

Часто бывает неудобно или невозможно выписывать формулу, которая выражает функцию через независимые переменные. При этом пишут коротко так:

Эта запись обозначает, что у есть функция независимой переменной есть символический знак зависимости у от . Вместо можно, конечно, употреблять и другие буквы. Если мы рассматриваем разные функции от то должны употреблять и разные буквы для символической записи зависимости от

Такой символической записью пользуются не только в том случае, когда функция задана аналитически, но и в самом общем случае функциональной зависимости, которой мы определили в [5].

Аналогичной короткой записью пользуются и для функций от нескольких независимых переменных:

Здесь v есть функция переменных

Частное значение функции получим, придав независимым переменным частные же значения и выполнив действия, указанные знаками . Так, например, частное значение функции (1) при будет

Вообще частное значение некоторой функции при обозначается Аналогично для функций от нескольких переменных.

Не надо смешивать общего понятия функции, которое было нами дано в [51, с понятием аналитического выражения через . В общем определении функции говорится лишь о некотором законе, согласно которому любому значению переменной из множества ее возможных значений соответствует определенное значение у. При этом не предполагается никакое аналитическое выражение (формула)у через

Отметим еще, что можно определить функцию различными аналитическими выражениями на разных участках изменения независимой переменной . Так, например, мы можем определить функцию у на промежутке (0, 3) следующим образом: при при При таком задании любому значению из промежутка (0, 3) соответствует определенное значение у, что и соответствует определению функции.